小波分析复习题1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。

答：三者之间的异同见表2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点：1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号；2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波；如果)(t ϕ的傅里叶变换是)(ωψ，则)(at ϕ的傅里叶变换为)(||aa ωψ，因此这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。

a 越大相当于频率越低。

3）适当的选择基本小波，使)(t ϕ在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。

4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λtx 的CWT 是),(λτλλa WT x ；0>λ此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的伸缩，但是不发生失真变形。

基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。

3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。

答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件当⎰∞+∞-∞<=ωωωψϕd c 2)(时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，ϕc 便是对)(t ϕ提出的容许条件，若∞→ϕc ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小波)(t ϕ的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波)(t ϕ必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。

2）能量的比例性小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。

3）正规性条件为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。

这就要求)(t ϕ的前n 阶原点矩为0，且n 值越大越好。

也就是要求⎰=0)(dt t t p ϕ，n p ~1:，且n 值越大越好，此要求的相应频域表示是：)(ωψ在0=ω处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01ωψωωψ+=n ，0)(00≠=ωωψ，n 越大越好。

4）重建核和重建核方程重建核方程说明小波变换的冗余性，即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。

重建核方程：τττττϕ⎰⎰∞+∞∞-=000200),,,(),(),(a a K a WT ada a WT x x ；重建核：><==⎰)(),(1)()(1),,,(0000*00t t c dt t t c a a K a a a a ττϕττϕϕϕϕϕϕττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种，请用框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。

答：1）基于调频Z 变换),(2a j a nje A eW ππ--==运算说明：a ．原始数据及初始化：原始数据是)(k ϕ（1~0-=N k ）和a 值，初始化计算包括a j e A π-=和a njeW π2-=。

ϕ ---12)(2N k r )2(am N π 12~2--NN对应于：1~0-=N rb ．计算)(k g 和)(k h ：22)()(k k WA k k g -⋅=ϕ，1~0-=N k ；22)(k Wk h -=，1~1-+-=N N k 。

c ．为了调用FFT 程序把)(k g ，)(k h 改成L 点（L 是2的整幂，L>2N-1）的数组)('k g ，)('k h ：⎩⎨⎧-+-=-==1~1 ,01~0),()('N N k N k k g k g⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=-==1~1),(~ ,01~0 ),()('L N L k k L h N L N k N k k h k h延长到L 点并补零是为了使DFT 的圆周卷积计算结果等于所需要的线性卷积。

d ．调用L 点FFT 程序：由)('k g 得到1~0),(-=L m m G ； 由)('k h 得到1~0),(-=L m m H ； e ．求1~0),()()(-==L m m G m G m Y ；f ．将)(m Y 作反演FFT ，且只取1~0-=L r 各点：)()(r y m Y IFFT −−→−，只取1~0-=N rg ．2),(222N r m r y W am N r -==⎪⎭⎫⎝⎛πψ⎪⎭⎫⎝⎛am N πψ2求得后，取共轭，与⎪⎭⎫⎝⎛m N X π2逐点对应相乘，再作N 点IFFT 并乘以a 便得到所需要的1~0),(-=N k k a WT x ，。

2）基于梅林变换),(τa x分别计算)(τ+bex ，）（b b e e ϕ对b 的IFT ，得到)(1βM 和)(*2βM ，将两者相乘后再对)()(*21ββM M 作FT ，便可求得),(τa WT x ，即)]()([),(*21ββτM M FT a a WT x ⋅=适用范围：1）基于调频Z 变换：当需要对尺度a 作更细致的划分，此时a 又不是2的整幂，它可能是分数或无理数，这种情况下按2的整幂离散求和计算WT 是困难的，此时可以通过调频Z 变换来快速进行这一计算，所需原始数据只是原始采样序列)(),(n n x ϕ，无需插补新值。

2）基于梅林变换：在一段较短的时间内，通过比较x WT 多个尺度下的表现来表征)(t x 中持续时间较短的瞬态或信号某些奇异点，这主要由于梅林变换的算法，能一次算出某一固定时刻0τ下一组不同尺度的),(0τnx q a WT =，q 为某一常数，n=0，1，2，……5、为什么说连续小波变换的信息是冗余的？为减小其信息的冗余度，可采用离散栅格的方法予以改善，但会带来信息失真的弊端，请问如何尽量避免这种失真？答:这是因为对于任何一个尺度因子和平移因子τ的小波，与原信号内积，所得到的小波系数都可以表示成在a ，τ附近生成的小波投影后小波系数的线性组合，所以说连续小波变换的信息是冗余的。

可以通过标架进行原函数x 的重建：1）小波标架的定义：当由基本小波)(t ϕ经伸缩与位移引出的函数族],),2(2[2Z k Z j k t t j jjk ∈∈-=+--ϕϕ）（具有下述性质时，便称],|[Z k Z j t jk ∈∈+）（ϕ构成一个标架：∑∑≤><≤jkjk x B x x A 222,ϕ，且∞<<<B A 02）信号的重建，对于紧标架：∑∑=><jkjk x A x 22,ϕ，则∑∑∑∑=><=j kk j x kj j k k j t k j WT A t x A t x )(),(1)(,1)(,,,ϕϕϕ 又因为在),(00k j 处的WT 为dt t t x k j WT k j x ⎰=)()(),(*0000ϕ将上一式代入下一式子，得：∑∑∑∑⎰⎰∑∑===j kx j k k j j x j k jk x x k j WT k j k j K A dt t t k j WT A dt t t k j WT A k j WT k j ),(),;(1)()(),(1)(])(),([1),(0,0**0000000ϕϕϕϕϕ式中，⎰>=<=)(),()()(),;(0000*0,0t t dt t t k j k j K k j jk k j jk ϕϕϕϕϕ当),(),;,(0000k k j j k j k j K --=δ时，信息没有冗余，此时各)(t jk ϕ互相正交。

6、请利用函数空间剖分理论说明从第j-1级到j 级分辨率的信号分解过程，并建立同小波变换之间的关系。

答：1）函数空间逐级剖分：把空间做逐级二分解，产生一组逐级包含的子空间：……，110W V V ⊕=，221W V V ⊕=，……，11++⊕=j j j W V V ，j 是从∞-到∞+的整数，j 值越小空间越大，而且剖分是完整的。

当-∞→j 时，)(2R L V j →，包含整个平方可积的实变函数空间。

在逐级包含的条件下，上式等效于：zj jR L V∈=)(2当+∞→j 时，〉〈→0j V ，即空间剖分最终到空集为止。

在逐级包含的条件下，上式等效于：zj jV∈〉〈=0上述剖分方式显然保证了空间j V 与空间j W 正交，且各j W 之间也正交：j j W V ⊥进一步要求剖分还具有以下两项特性：（1）位移不变性：函数的时移不改变其所属空间。

即：j V t x ∈)(，则j V k t x ∈-仍)(（2）二尺度伸缩性：如j V t x ∈)(，则1)2(+∈j V tx ，1)2(-∈j V t x 。

2）对各子空间内的结构做进一步分析（1）子空间0V ：设0V 中有低通的平滑函数)(t φ，他的整数位移集合>∈-<z k k t );(φ是0V 中的正交归一基。

称)(t φ为尺度函数，正交归一性可记为：)'()'(),(k k k t k t -=〉--〈δφφ或)'()(),('00k k t t k k -=〉〈δφφ。

式中)(0t k φ是)2(21)(2/k t t j j jk -=-φφ在0=j 时的退化形式，也就是)(k t -φ。

0V 中的任意函数必可表示为>∈<z k t k );(0φ的线性组合，设)(0t x P 代表)(t x 在0V 上的投影，则必有：∑=kkk t xt x P )()(0)0(0φ，由此可得〉〈=〉〈=)(),()(),(000)0(t t x t t x P x k k k φφ子空间1V ：)'()(),('11k k t t k k -=〉〈δφφ，∑=kkk t xt x P )()(1)1(1φ，那么〉〈=〉〈=)(),()(),(111)1(t t x t t x P x k k k φφ子空间1W ：1W 中任意函数可表示为>∈<z k t k );(1φ的线性组合。

设)(1t x D 代表)(t x 在1W 中的投影则必有：∑=kk k t dt x )()(1)1(ϕ，且权重〉〈=〉〈=)(),()(),(111)1(t t x t t x D d k k k φφ。

3）以上讨论可以推广到1-j V 与j V ，j W 之间，即：〉∈-=〈-z k k t t j j jk );2(21)(2/φφ必是j V 中的正交归一基。