2019年山西省初中学业水平考试数学(满分120分,考试时间120分钟)一、选择题:本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分1．(2019山西,1题,3分) －3的绝对值是( )A.－3B.3C.13D.13【答案】B【解析】负数的绝对值是它的相反数,∴|－3|＝3,故选B.【知识点】绝对值2．(2019山西,2题,3分)下列运算正确的是( )A.2a+3a＝5a2B.(a+2b)2＝a2+4b2C.a2·a3＝a6D.(－ab2)3＝－a3b6【答案】D【解析】A.2a+3a＝5a,故A错误;B.(a+2b)2＝a2+2ab+4b2,故B错误;C.a2·a3＝a5,故C错误;D.(－ab2)3＝－a3b6,正确,故选D.【知识点】合并同类项,同底数幂的乘法,积的乘方,幂的乘方,完全平方公式3．(2019山西,3题,3分)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与"点"字所在面相对的面上的汉字是( )A.青B.春C.梦D.想第3题图【答案】B【解析】根据正方体的展开与折叠中面的关系,可知与"点"字所在面相对的面上的汉字是春,故选B.【知识点】展开与折叠4．(2019山西,4题,3分)下列二次根式是最简二次根式的是( )【答案】D【解析】最简二次根式的根号内不能含有分母,不能含有可开的尽方的因数,故选D.【知识点】最简二次根式5．(2019山西,5题,3分) 如图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC于点E,若∠1＝145°,则∠2的度数是( )A.30°B.35°C.40°D.45°第5题图【答案】C【解析】△ABC中,AB＝AC,∠A＝30°,∴∠B＝75°,∵∠1＝145°,∴∠FDB＝35°过点B作BG∥a∥b,∴∠FDB＝∠DBG,∠2＝∠CBG,∵∠B＝∠ABG+∠CBG,∴∠2＝40°,故选C第5题答图【知识点】等腰三角形,三角形内角和,平行线的性质6．(2019山西,6题,3分)不等式组13224xx->⎧⎨-<⎩的解集是( )A.x>4B.x>－1C.－1<x<4D.x<－1【答案】A【解析】解不等式①得x>4,解不等式②得x>－1,∴原不等式组的解集是x>4,故选A.【知识点】解不等式组7．(2019山西,7题,3分)五台山景区空气清爽,景色宜人."五一"小长假期间购票进山游客12万人次,再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算,"五一"小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示为( )A.2.016×108元B.0.2016×107元C.2.016×107元D.2016×104元【答案】C【解析】120000×168＝20160000＝2.016×107,故选C【知识点】科学记数法8．(2019山西,8题,3分)一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为( )A.(x+2)2＝3B.(x+2)2＝5C.(x－2)2＝3D.(x－2)2＝5【答案】D【解析】原方程可化为:x2－4x＝1,x2－4x+4＝1+4,(x－2)2＝5,故选D.【知识点】配方法9．(2019山西,9题,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米,(即AB＝90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( )A.y ＝26675x 2 B.y ＝26675-x 2 C.y ＝131350x 2 D.y ＝131350-x 2第9题图 【答案】B【解析】设二次函数表达式为y ＝ax 2,由题可知,点A 坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2,解得a ＝26675-,∴二次函数表达式为y ＝26675-x 2,故选B. 【知识点】二次函数的应用10．(2019山西,10题,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π- 2πC.πD.2π第10题图【答案】A【思路分析】根据三角形的边的关系求出角度,在圆中求出扇形圆心角,阴影部分就是△ABC 的面积减去△AOD的面积和扇形BOD 的面积,分别算出各图形的面积,即可得到结果.【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD ∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD ＝－2π＝2π-,故选A.第10题答图【知识点】三角函数,三角形面积,扇形面积二、填空题:本大题共5小题,满分15分,只填写最后结果,每小题填对得3分.11．(2019山西,11题,3分)化简211x xx x---的结果是________.【答案】31 x x-【解析】2231111 x x x x x x x x x+-==----【知识点】分式化简12．(2019山西,12题,3分)要表示一个家庭一年用于"教育","服装","食品","其他"这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比,从"扇形统计图","条形统计图","折线统计图"中选择一种统计图,最适合的统计图是________.【答案】扇形统计图【解析】∵要表示四项支出各占家庭本年总支出的百分比,∴用扇形统计图最适合.【知识点】统计图的选择13．(2019山西,13题,3分)如图,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2,设道路的宽为x m,则根据题意,可列方程为________.第13题图【答案】(12－x)(8－x)＝77【解析】栽种花草的部分可以看成一个矩形,长为(12－x)m,宽为(8－x)m,根据面积等量关系可列方程(12－x)(8－x)＝77.【知识点】一元二次方程的应用14．(2019山西,14题,3分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(－4,0),点D的坐标为(－1,4),反比例函数y＝kx(x>0)的图象恰好经过点C,则k的值为________.第14题图【答案】16【解析】分别过点D,C作x轴的垂线,垂足为E,F,则AD＝5,∴AB＝CB＝5,∴B(1,0),由△DAE≌△CBF,可得BF＝AE＝3,CF＝DE＝4,∴C(4,4),∴k＝xy＝16.第14题答图【知识点】菱形性质,勾股定理,反比例函数15．(2019山西,15题,3分)如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ＝10cm,点D 为△ABC 内一点,∠BAD ＝15°,AD ＝6cm,连接BD,将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转,使AB 与AC 重合,点D 的对应点为点E,连接DE,DE 交AC 于点F,则CF 的长为________cm.第15题图 【答案】10－26【思路分析】由旋转得到对应边相等,在△ADF 中,构造直角三角形,利用三角函数,求得AF 的长度,进而求得FC. 【解题过程】∵∠BAC ＝90°,∠BAD ＝15°,∴∠DAF ＝75°由旋转可知,∠ADF ＝45°,过点A 作AM ⊥DF 于点M,∴AM ＝22AD ＝32,∴AF ＝233AM ＝26,∵AC ＝AB ＝10,∴FC ＝AC －AF ＝10－26第15题答图【知识点】图形的旋转,三角函数三、解答题:本大题共8小题,满分75分,要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(2019山西,16题,5分)(1)计算:()201273tan 6022π-⎛⎫+--+- ⎪⎝⎭(2)解方程组:32820x y x y -=-⎧⎨+=⎩【思路分析】(1)按照实数的运算法则进行计算;(2)运用加减消元法或代入消元法进行解方程. 【解题过程】(1)原式＝334331=5+-+; (2)32820x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②,①＋②,得:3x+x ＝－8+0,∴4x ＝－8,x ＝－2,把x ＝－2代入②,得－2+2y ＝0,∴y ＝1,∴,原M方程组的解为:21 xy=-⎧⎨=⎩.【知识点】二次根式的化简,负指数幂,特殊角的三角函数值,零指数幂,加减消元法解二元一次方程组17．(2019山西,17题,5分)已知,如图,点B,D在线段AE上,AD＝BE,AC∥EF,∠C＝∠F,求证:BC＝DF.第17题图【思路分析】由平行得到角相等,再处理条件AD＝BE,得到全等三角形,进而得到BC＝DF.【解题过程】∵AD＝BE,∴AD－BD＝BE－BD,∴AB＝DE,∵AC∥EF,∴∠A＝∠E,在△ABC和△EDF中,∠C＝∠F,∠A＝∠E,AB＝ED,∴△ABC≌△EDF,∴BC＝DF.【知识点】平行线的性质,三角形全等18．(2019山西,18题,8分)中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于2019年8月在山西举行.太原市作为主赛区,将承担多项赛事.现正从某高校的甲,乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者,同学们勇跃报名,甲,乙两班各报了20人,现已对他们进行了基本素质测评,满分10分,各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人.对这次基本素质测评中甲,乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图.请解答下列问题:(1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分,请你分别判断小华,小丽能否被用(只写判断结果,不必写理由).(2)请你对甲,乙两班各被录用的10名志愿者的成票作出评价(从"众数","中位数"或"平均数"中的一个方面评价即可).(3)甲乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行频奖礼仪服务,四个场馆分别为:太原学院足球场,太原市沙滩排球场,山西省射击射箭训练基地,太原水上运动中心,这四个场馆分别用字母A,B,C,D表示.现把分别印有A,B,C,D的四张卡片(除字母外,其余都相同)背面朝上,洗匀放好,志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张.请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是"A"和"B"的概率.第18题图【思路分析】(1)观察统计图,可判断两人是否在前10名,即可做出判断;(2)根据"众数","中位数"和"平均数"的特点,进行评价;(3)列表列举出所有的结果,计算概率即可.【解题过程】(1)小华:不能被录用,小丽:能被录用.(2)从众数来看:甲,乙两班各被录用的10名志愿者成绩的众数分别为8分,10分,说明甲班被录用的10名志愿者中8分最多,乙班被录用的10名志愿者中10分最多.从中位数来看:甲,乙两班各被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分,8.5分,说明甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数.从平均数来看:甲,乙两班各被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分,8.7分,说明甲班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数.由列表可知,一共有12种可能出现的结果,且每种结果出现的可能性相同,其中,抽到"A"和"B"的结果有2种,∴,P(抽到"A"和"B")＝21= 126【知识点】众数,中位数,平均数,列表法,求概率19．(2019山西,19题,8分)某游泳馆推出了两种收费方式.方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱.【思路分析】(1)根据两种方式的描述即可得到表达式;(2)令y1<y2,即可解得x的范围.【解题过程】(1)y1＝30x+200,y2＝40x(2)由y1<y2,得30x+300<40x,解之,得x>20,当x>20时,选择方式一比方式二省钱.【知识点】一次函数的应用20．(2019山西,20题,8分)某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是______m.任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)【思路分析】任务一:根据平均数的计算方法求值即可;任务二:设出旗杆高度,表示出CE,DE的长度,得到方程,即可解得;任务三:根据实际情况分析原因.【解题过程】任务一:平均值＝(5.4+5.6)÷2＝5.5m任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH都是矩形,∴EH＝AC＝1.5,CD＝AB＝5.5,设EG＝xm,在Rt△DEG中,∠DEG＝90°,∠GDE＝31°,∵tan31°＝EGDE,∴DE＝tan31x,在Rt△CEG中,∠CEG＝90°,∠GCE＝25.7°,∵tan25.7°＝EGCE,∴CE＝tan25.7x,∵CD＝CE－DE,∴tan25.7x－tan31x＝5.5,∴x＝13.2,∴GH＝GE+EH＝13.2+1.5＝14.7.答:旗杆GH的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.【知识点】三角函数的应用21．(2019山西,21题,10分)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ）是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则22=2OI R Rr.如图1, O和 I分别是△ABC的外接圆和内切圆, I与AB相切于点F,设 O的半径为R, I的半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d,则有22=2d R Rr.下面是该定理的证明过程（部分）:延长AI交 O于点D,过点I作 O的直径MN,连接DM,AN.∵∠D＝∠N,∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）,∴△MDI ∽△ANI.∴IM IDIA IN.∴IA ID IM IN . ① 如图2,在图1（隐去MD,AN ）的基础上作 O 的直径DE,连接BE,BD,BI,IF.∵DE 是 O 的直径,∴∠DBE ＝90°.∵ I 与AB 相切于点F,∴∠AFI ＝90°,∴∠DBE ＝∠IFA. ∵∠BAD ＝∠E （同弧所对的圆周角相等）,∴△AIF ∽△EDB. ∴IA IFDE BD.∴IA BD DE IF . ② …… 任务:（1）观察发现:IM ＝R+r,IN ＝_____（用含R,d 的代数式表示）; （2）请判断BD 和ID 的数量关系,并说明理由;（3）请观察式子①和式子②,并利用任务（1）,（2）的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分; （4）应用:若△ABC 的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC 的外心与内心之间的距离为___cm第21题图【思路分析】（1）MN 是直径,根据内切圆与外接圆半径与它的关系得到IN 的代数式（2）由内切圆是三角形三条角平分线的交点,转化相等的角,再利用同弧所对的圆周角相等转化角,最后得到∠BID ＝∠DBI,利用等角对等边得证（3）由材料得到的结论及任务（1）（2）等量代换得线段等积式,从而得证结论（4）根据结论直接应用求解. 【解题过程】（1）IN ＝R －d;（2）BD ＝ID.理由如下:∵点I 是△ABC 的内心,∴∠BAD ＝∠CAD,∠CBI ＝∠ABI,∵∠DBC ＝∠CAD,∠BID ＝∠BAD+∠ABI,∠DBI ＝∠DBC+∠CBI,∴∠BID ＝∠DBI,∴BD ＝ID; （3）由（2）知:BD ＝ID,∴IA IDDE IF ,又∵IA ID IM IN ,∴DE IFIM IN ,∴2R r R d R d ,∴222R d Rr ,∴222d R Rr ;（4）由222d R Rr 得222252525d R Rr ,∵d>0,∴5d .【知识点】三角形的内心,圆的对称性,等角对等边22．(2019山西,22题,8分)综合与实践 动手操作:第一步:如图1,正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在的直线折叠,展开铺平,再沿过点C 的直线折叠,使点B,点D 都落在对角线AC 上.此时,点B 与点D 重合,记为点N,且点E,点N,点F 三点在同一条直线上,折痕分别为CE,CF.如图2.第二步:再沿AC 所在的直线折叠,△ACE 与△ACF 重合,得到图3.第三步:在图3的基础上继续折叠,使点C 与点F 重合,得到图4,展开铺平,连接EF,FG,GM,ME,如图5.图中的虚线为折痕.第22题图 问题解决:（1）在图5中,∠BEC 的度数是_____,AEBE的值是_____; （2）在图5中,请判断四边形EMGF 的形状,并说明理由;（3）在不增加字母的条件下,请你以图5中的字母表示的点为顶点,动手画出．．．．一个菱形（正方形除外）,并写出这个菱形:_______.【思路分析】（1）通过折叠转化角相等,进而利用内角和求∠BEC 的度数,再利用45°三角函数解决线段的比值问题（2）根据第1问的提示,可以通过折叠求角的度数,进而得到四边形各内角的度数为90°,利用三个内角为90°的四边形是矩形进而可以判定四边形的形状是矩形（3）利用多次折叠可以得到很多相等的线段以及互相垂直的线段,可以利用四边相等的四边形是菱形或对角线互相垂直平分的四边形是菱形来得到符合条件的菱形.【解题过程】（1）∵正方形ABCD,∴∠ACB ＝45°,由折叠知:∠1＝∠2＝22.5°,∠BEC ＝∠CEN,BE ＝EN,∴∠BEC ＝90°－∠1＝67.5°,∴∠AEN ＝180°－∠BEC －∠CEN ＝45°,∴cos45°＝2EN AE ,2AE EN,2AE AE BE EN;（2）四边形EMGF 是矩形.理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°,由折叠可知:∠1＝∠2＝∠3＝∠4,CM ＝CG,∠BEC ＝∠NEC ＝∠NFC ＝∠DFC,∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝°904＝22.5°,∴∠BEC ＝∠NEC ＝∠NFC ＝∠DFC ＝67.5°,由折叠知:MH,GH 分别垂直平分EC,FC,∴MC ＝ME,GC ＝GF.∴∠5＝∠1＝22.5°,∠6＝∠4＝22.5°,∴∠MEF ＝∠GFE ＝90°.∵∠MCG ＝90°,CM ＝CG,∴∠CMG ＝45°,又∵∠BME ＝∠1+∠5＝45°,∴∠EMG ＝180°－∠CMG －∠BME ＝90°,∴四边形EMGF 是矩形; （3）答案不唯一,画出正确的图形（一个即可）.菱形FGCH （或菱形EMCH ）第22题答图【知识点】折叠,三角形内角和,三角函数,矩形,菱形23．(2019山西,23题,8分)综合与探究如图,抛物线y ＝ax 2+bx+6经过点A （－2,0）,B(4,0)两点,与y 轴交于点C.点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为m(1<m<4).连接AC,BC,DB,DC. (1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时,求m 的值; (3)在(2)的条件下,若点M 是x 轴上一动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.第23题图【思路分析】(1)将点A,B 的坐标代入表达式可得;(2)计算△AOC 的面积,用含m 的代数式表示出△BCD 的面积,得到方程,解得m 的值;(3)以BD 为边或对角线,通过解方程得到点M 的坐标.【解题过程】(1)∵抛物线y ＝ax 2+bx+6经过点A （－2,0）,B(4,0)两点,∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解之,得:3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数表达式为:233642y x x =-++; (2)作直线DE ⊥x 轴于点E,交BC 于点G,作CF ⊥DE,垂足为点F,∵点A 的坐标为(－2,0),∴OA ＝2,由x ＝0,得y ＝6,∴点C 的坐标为(0,6),∴OC ＝6,∴S △AOC ＝12OA ·OC ＝6,∴S △BCD ＝34S △AOC ＝92.设直线BC 的函数表达式为y ＝kx+n,由B,C 两点的坐标得:406k n n +=⎧⎨=⎩,解之,得:326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线BC 的函数表达式为:y ＝－32x+6.∴点G 的坐标为(m,－32m+6),∴DG ＝233642m m -++－(－32m +6)＝2334m m -+.∵点B 的坐标为(4,0),∴OB ＝4,∴S △BCD ＝S △CDG +S △BDG ＝2364m m -+.∴2364m m -+＝92,解之,得m 1＝3,m 2＝1,∴m 的值为3.第23题答图(3)存在点M,其坐标为:M 1(8,0),M 2(0,0),M 34(【知识点】二次函数表达式,三角形面积,坐标运算,平行四边形的存在性。