23 16 21 18 20 22 19 24 17
下图是一个三阶幻方。求“？”是多少
1?7 19
13
•在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数， •使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21．
8 2 11 10 7 4 3 12 6
8 3 10
97 5
4 11 6
三阶质数幻方
下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次某 国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资—— 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元 分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别 的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了， 国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是 质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的 人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九 个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由 九个质数组成的三阶幻方。”
奇阶幻方的解法
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于3阶幻方
的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四 维挺进。”，具体操作如下图：
其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。”
1 42 753 86
9
9 42 357 86
1
492 753 816
类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构
10 3 8 57 9 6 11 4
三阶幻方的性质
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
阶 幻
35 7
方
816
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三
492
阶
幻
3 57
方
8 16
练习1：
17 4 12 6 11 16 10 18 5
8阶幻方超过10亿种
分类
按照幻方阶数的奇偶性， 幻方可以分为奇数阶幻方 与偶数阶幻方
偶阶幻方
• 四阶幻方
16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
• 六阶幻方
10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7 2 26 19 14 15 35 31 13 16 25 20 6 9 36 3 4 32 27
造过程。
1
6
2
11 7
3
16 12 8
4
21 17 13 9
5
22 18 14 10
23 19 15
24 20
25
25子斜排
25
24 20
11 7
3
4
12 8
16
5
17 13 9
21
10 18 14 22
23 19 15
6
2
1
上下对易，左右相更
25
24 20
11 24 7 20 3
4 4 12 25 8 16 16
练习2：
15 3 12
7 10 13
8 17 5
例题2：
补 15
全
பைடு நூலகம்
7
这
个8
幻
方
3 12 10 13 17 5
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
17 12 15
9 19 5
25 5 0 35 10 15
17 13 11 5 19 8
5
17 5 13 21 9
21
10 10 18 1 14 22 22
23 6 19 2 15
6
2
1
四维挺进
11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
Merzirac法生成奇阶幻方(阶梯法）
在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字， 则向下移一格继续填写。
816 357 492
幻方
幻方
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
幻方的定义
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大 禹治水的时候，在黄河支 流洛水中，浮现出一个大 乌龟， 人们将乌甲上背有 9种花点的图案图案中的花 点数了一下
1
1
3
4
2
16
35 7
4
2
1
2
1
35
4
2
816 357 42
1 3
2
16
35
4
2
816 357 492
1.用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数 作一个三阶幻方
24 3 18 9 15 21 12 27 6
1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
25 11 21 23 2 17
•在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、 •每列以及每条对角线上的三个数的和相等。
•那么标有“☆”的方格内应填入的数是____8___.
3
☆6 4
7
在空格中填数，使每一行，每一列、每条对角线的和 都等于30.
13 5 12 9 10 11 8 15 7
用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、 每条对角线的和都是60
竟惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排 列也相当奇妙，后来人们就称 这个图案为洛书
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
816 357 492
幻方有多少
3阶幻方只有1种 4阶幻方方有880种 5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7阶幻方有363916800种（约三亿 六千四百万）
奇阶幻方
• 三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数 字之和都为15。
816
357 492
• 五阶幻方
特点：横的5行、 纵的5列以及两对 角线上各自的数 字之和都为65。
17 23 1 8 15 22 5 7 14 16 4 6 13 20 21 10 12 19 25 3 11 18 24 2 9