第9章 多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。

3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。

n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。

n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离：||(n PQ y x =++-邻域: 设0P 是nR 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于δ的点P 的全体称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈<空心邻域: 0P 的δ邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ空心邻域,记为0(,)U P δ=0{0||}P PP δ<<。

内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。

如果存在点P 的某个邻域),(δP U ，使得E P U ⊂),(δ，则称点P 为集合E 的内点。

如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。

如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。

开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。

设点集nE ⊆R , 如果E 的补集n E -R 是开集，则称E 为闭集。

区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ⊆，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P Dd D PP ∈=为D 的直径。

二、多元函数n 元函数就是n R 的一个子集D 到R 的一个函数，即对任意的P D ∈，都存在唯一的y ∈R ，使得()y f P =。

习惯上，我们用()y f x =表示一元函数， 用),(y x f z =表示二元函数，用(,,)w f x y z =表示三元函数. 一般用(),R n y f P P =∈或12(,,,)n y f x x x =表示n 元函数． 三、多元函数的极限设多元函数)(P f z =在D 有定义，0P 是D 的一个聚点，A 为常数。

如果对任意给定的0ε>，都存在0δ>，当0(,)P D P U δ∈⋂时，有()f P A ε-<则称A 为P 趋于0P 时函数)(P f z =在D 上的极限，记为P P lim (P)f A →= 或0(P),(P P )f A →→。

四、多元函数的连续性设多元函数)(P f z =在D 有定义，0P 是D 的一个聚点。

如果00P P lim(P)(P )f f →=，则称)(P f z =在0P 点连续。

如果)(P f z =在区域D 上各点都连续，就称)(P f z =在D 上连续．如果函数)(P f z =在 点0P 处不连续，则称函数)(P f z =在点0P 处间断, 也称0P 是函数),(y x f z =的间断点。

五、偏导数设二元函数),(y x f z =，),(000y x P 为平面上一点。

如果0(,)z f x y =在0x 的某一邻域内有定义且在0x 存在, 则称),(y x f z =在点),(000y x P 处对x 可偏导，称此极限值为函数),(y x f z =在点),(000y x P 处对x 的偏导数，记为000000(,)(,)(,),,xx y x y x y z f z xx∂∂'∂∂或00(,)x f x y '六、高阶偏导数2222xx z f f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，22xy z f f f x y x y y x ∂∂∂∂⎛⎫''=== ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭，22yxz f f f y x y x x y ⎛⎫∂∂∂∂''=== ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭， 2222yy z f f f y y y y ⎛⎫∂∂∂∂''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数,xy yx f f ''''都在平面区域D 内连续，那么这两个二阶混合偏导数在D 内相等。

七、全微分设函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，,A B 为常数。

如果()z A x B y o ρ∆=∆+∆+，其中ρ= 则称函数 ),(y x f z =在点000(,)P x y 可微分（简称可微），称A x B y ∆∆+为函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的全微分，记作dz ，即dz A x B y =∆+∆可微的必要条件：函数),(y x f z =在点000(,)P x y 可微, 则(1) ),(y x f 在点000(,)P x y 处连续。

(2) ),(y x f 在点000(,)P x y 处偏导数存在, 且=z d 00(,)d x f x y x '+00(,)d y f x y y '。

可微的充分条件：函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某个邻域内可偏导，且偏导数(,),(,)x y f x y f x y ''在点000(,)P x y 连续，则),(y x f z =在点000(,)P x y 可微。

八、多元复合函数的求导法则链式法则：),(v u f z =，),(),,(y x v v y x u u ==一阶全微分的形式不变性：),(v u f z =，),(),,(y x v v y x u u ==,z z z z dz dx dy dz du dv x y u v∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂ 九、隐函数及其求导法若),(y x F 满足：(1) ),(y x F 在),(00y x 某邻域内可偏导, 且(,),x F x y '(,)y F x y '连续，(2) 00(,)0F x y =，(3) 00(,)0y F x y '≠。

则(1) 存在0x 的某个邻域，在此邻域内存在唯一确定的一元函数)(x f y =满足称函数)(x f y =称为由方程0),(=y x F 所确定的隐函数，且)(x f y =具有连续导数，(,)d ()d (,)x y F x y yf x x F x y '==-． 若12(,,,,)n F x x x y 满足：(1) ),,,,(21y x x x F n 在点),,,,(000201y x x x n 的某个(n +1)维邻域内可偏导, 且1121212(,,,,),,(,,,,),(,,,,)n x n x n y n F x x x y F x x x y F x x x y '''连续。

(2) 000012(,,,,)0n F x x x y =，(3) 000012(,,,,)0y n F x x x y '≠则(1) 存在点),,,(00201n x x x 的某个n 维邻域, 在此邻域内存在唯一的n 元函数，且函数),,,(21n x x x f y =在该邻域内具有连续偏导数,,i i x x y F y F ''=-'1,2,,i n =。

十、空间曲线的切线与法平面空间曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，))(),(),((0000t z t y t x M 为曲线上一点。

如果000(),(),()x t y t z t '''不全为0，则在点0M在点0M 处的法平面方程为：000000()'()()'()()'()0x x x t y y y t z z z t -+-+-=。

十一、空间曲面的切平面与法线曲面∑：0),,(=z y x F 在点处0M在点处0M十二、无条件极值极值存在的必要条件：函数),(y x f z =在点),(000y x P 处取得极值, 且在该点处函数的偏导数都存在, 则),(y x f z =在),(000y x P 点处的一阶偏导数为零, 即 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==极值存在的充分条件：函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有一阶及二阶连续偏导数，且0000(,)(,)0x y f x y f x y ''==。

令00(,)xx f x y A ''=，00(,)xy f x y B ''=，00(,)yyf x y C ''=，则(1) 当02>-B AC 时，00(,)f x y 是函数),(y x f z =的极值，其中当0<A 时00(,)f x y 为极大值，当0>A 时00(,)f x y 为极小值。

(2) 当02<-B AC 时，00(,)f x y 不是极值。

十三、条件极值函数),(y x f z =（称为目标函数）在条件(,)0,1,2,,i x y i k φ==下极值问题转化为求辅助函数11(,,,,)(,)(,)kk i i i L x y f x y x y λλλϕ==+∑的无条件极值的问题。