d 2
u
[2(l
1)
]
d
d
u
[(l
1)
1
]u
0
29
化为标准型
d2u
d 2
(
)
du
d
u
0
其中参数为 2(l 1) 2 (l 1) 1
此方程在 0邻域有界的解为
合流超几何函数
u( , , ) 1 ( 1) 2 ( 1) 2
( 1)( 2) 3 ( )n 1 n
3
r→∞时，方程近似化为
d 2Rl dr 2
r 2Rl
0
其渐近行为是
1r2
Rl ~ e 2
1r2
但 Rl ~ e 2 不满足波函数在无穷远处的
边界条件（几率为0），故弃之
因此，只能取有界解
1r2
Rl ~ e 2
(r )
这样方程的解可表为
Rl
(r)
r
l
e
1 2
r
2
u(r)
4
将式
Rl
(r)
r
l
e
11
讨论：
1、能级简并度
E
EN
(N
3 2
),
能级也是等间距的。
N 0,1,2
但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子 能级是简并的。
这表现在 E EN N 2nr l
同一个N，可有不同的nr，l 这是V(r) ∝r2的结果。
其对称性显然比V(r) ∝x2高很多。 12
由
N 2nr l
对于给定的EN或N, nr=0,1,2,…(N-1)/2或N/2
§5.3 三维各向同性谐振子
质量为μ的粒子在势场V(r)中运动
V (r) 1 2r 2
2
ω是刻画势阱强度的参量。
径向方程为
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2
2
(E
1 2
2r 2
l
(l r2
1)
Rl
0
采用自然单位来化简方程。即令 1
此时长度、能量、动量和时间的特征量分别为
32
因为 且 以及
Rl (r)
~
l (r)
r
l (r) rl1eru(r)
ξ=2βr
则相应的径向波函数可以写为
Rl
(r
)
~
l
e
2
u(nr
,2l
2,
)
这里
2r
2r
na0
（已添上r的自然单位a0）
33
归一化的径向波函数为
Rnl
(r)
Nnl
l
e2
u(n
l
1,2l
2,
)
归一化系数为
Nnl
2 a03/ 2n2 (2l
r
22
径向波函数满足方程
d 2 Rl dr 2
2 r
dRl dr
2
2
(E
Ze2 r
)
l(l 1)
r2
Rl
0
(0 r )
令 l (r) rRl (r), 利用复合函数求导方法可知
l (r) 满足下列方程
l
'
'
(r)
2
2
(E
e2 r
)
l(l 1) r2
l
(r)
0
边界条件为 l (0) 0 前面的条件可以保证
l (r) ~ er
28
因此方程
l
'
'[2E
2 r
l
(l r2
1)
]l
(r
)
0
的解可以表为
l (r) rl1eru(r)
r 0时起作用 r 时起作用
问题：u(r)是何种形式？ 将上述形式的解代入上面的方程，得
ru''[2(l 1) 2r]u'2[(l 1) 1]u 0
令ξ=2βr，有
d2
nr![(2l
2n1r)!!]12)!!
2
(r)l
1 2r2
e2
F
nr
,
l
3 2
,
2r 2
此时
0 [Rnrl
(r)]2
r 2dr
1
nr表示径向波函数的节点数。
9
Nr=0，1，2的径向波函数分别为
1
R0l
3
2
2l 2 (2l
1)!!
2
(r)l
1
e2
2r 2
1
R1l
3
2
2l 3 (2l
着三维谐振子的能级具有简并特点。
对于给定N， 利用 N nx ny nz 有
nx 0, 1, 2, , N 1, N
ny nz N, N 1, N 2, , 1, 0 则(nx, ny)可能取值的数目(注意ny取值的个数)
N 1, N, N 1, , 2, 1
18
即当N 给定时, nx可取0,1,2,…,N 等N+1个值。
其中
Hˆ Hˆ x Hˆ y Hˆ z
Hˆ i
1
2
pˆ i2
1 2
2 xi2
i 1, 2, 3 (x, y, z)
令 nxnynz (x, y, z) nx (x) ny ( y) nz (z)
相应的本征能量为
其中
Enxnynz Enx Eny Enz
16
Enx
nx
1
2
nx
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2E
r2
l
(l r2
1)
Rl
0
可写为
Rl
2 r
Rl
l(l 1) r2
Rl
0
Rl(r)有两个解：Rl (r) ~ rl ,
r (l1)
后者要求 l 1 3
2
但因 l 0 解 r (l 1)
不满足波函数在r=0处的有限条件
因此，只能取 Rl ~ rl
(r ~ 0)
23
其中
memp
me mp
me , mp 分别为电子和质子的质量。
在以下计算中采用原子单位：e 1
计算结果出来后再添上各物理量的相关单位。
此时方程化为
l
'
'[2E
2 r
l(l 1) r2
]l
(r)
0
显然此方程有两个奇点： r 0, r
24
根据前面所介绍的正则奇点和非正则奇点 的知识，显然方程
当nx固定时，ny可取0，1，2，…，N nx 等
N nx 1个取法。
nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即nz N nx ny
所以 (nx , ny , nz )可能取值的数目，即量子态数目
（简并度）为
N
fN (N nx 1) (N 1) N (N 1) 3 2 1
nx 0
(N 11) (N 1) (N 1)(N 2)
2
2
19
如何区分这些简并态？用守恒量完全集
在球坐标系中，守恒量完全集为
Hˆ , Lˆ2, Lˆz 相应的量子数为 nr ,l, m
其共同本征函数为 nrlm(r, ,)
在直角坐标系中，守恒量完全集为
Hˆ x , Hˆ y , Hˆ z 相应的量子数为 nx , ny , nz
1 2
r
2
u
(r
)
代入方程
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2E
r2
l
(l r2
1)
Rl
0
可知u(r)满足
d 2u dr 2
2 r
(l
1
r2
)
du dr
[2E
(2l
3)]u
0
令 r2 通过复合函数求导，上式化为
d 2u
d 2
(
)
du
d
lu
0
这是合流超几何方程，相应参数为
5
l
1 (l 2
但l的取值范围 l 0,1,2, （取遍） 决定了这一解不符合要求，故去掉，所以
l (r)~ rl1
即
Rl ~ r l ﹟
27
（2）当r→∞时 方程化为
l ''(r) 2El (r) 0
故
l (r) ~ er
(E 0)
且
2E （以后要用到）
但 l (r) ~ er 不满足∞边界条件，故
0, 1,
2,
Eny
ny
1
2
ny 0, 1, 2,
Enz
nz
1
2
则
nz 0, 1, 2,
其中
EN
Enx
Eny
Enz
N
3
2
N nx ny nz (N 0, 1, 2, )
17
能级简并度：
由上式可以看出，满足 N nx ny nz
的 nx , ny , nz 的值事实上不止一组，这意味
E
(2nr
l
3 ) ,
2
nr 0,1,2,
令
N 2nr l
则
E
EN
(N
3 ) ,
2
N 0,1,2
加上长度单位 1 ( 1 ,非整数参数)
r
可得相应的波函数为三项之积
8
Rnrl
(r
)
~
(r
)l
e
1 2
2r
2
F