U
1 2
( xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
yz yz
zx zx )d
若用指标形式来写变形体的应变能，则有
1
2
ijij d
1 2
((1111 12 12 13 13
21 21 22 22 23 23
31 31 3232 3333 )d
1 2
{ xx yy zz xy yz zx} 对 应于{ xx yy zz xy yz zx}
可以看出，其变形能应包括二个部分： 对应于正应力与正应变的变形能， 对应于剪应力与剪应变的变形能。
03:53
17
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
对应于正应力与正应变的应变能
如图所示，在xoy平面内考察由于主应力和主应变的作
xy yy yz b y 0 x y z
xz yz zz bz 0
x y z
xx
u , x
yy
v y
,
zz
w , z
xy
v x
u , y
yz
w y
v z
,
xx
1 E
xx
( yy
zz ) ,
yy
1 E
yy
( xx
zz ) ,
zz
1 E
zz
( xx
yy ) ,
zx
w x
u z
uu
vv
on
边界条件
ww
xxnx xyny xz nz px
xynx yyny yznz p y
xy
1 G
xy
,
yz
1 G
yz
,
zx
1 G
zx
zxnx zyny zznz p z
Su
on
Sp
03:53
w 0 zx 0 zy 0
由空间问题的物理方程，有
zz ( xx yy ) 0
可以验证，由平面应变条件对原空间问题基本方程进行简化 所得到的平面问题方程将不会产生任何矛盾，因此，可以说， 平面应变问题的方程是精确的。
03:53
14
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
用所产生的应变能；设在微小体元 d=dxdydz上只作用有
xx与xx ，这时微体的厚度为dz，可求得微体上的应变能为
U( , )x
U( , ) x
1 2
xx xxd
U( , )x
1 2
xxdydz xxdx
1 2
xx xxd
另外两个方向上的主应力和主应
变(yy与yy ， zz与zz )所产生的
约束)全部作用在 (xoy) 平面，且不随 z 变化，由于板很薄，可
近似认为在整个板内处处有
zz 0
xz 0 yz 0
由空间问题的物理方程，有
变量 w 将随z变化，与平面问题 的基本前提(所有变量只是x,y的 函数)产生矛盾。实际上，平面
应力问题对于薄板来说是近似的，
zz
E
( xx
yy ) 0
10
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
位移：ui=[u1 , u2 , u3 ]T
应变： ij=[11, 22, 33 , 12 , 23 , 31 ]T 应力： ij=[ 11, 22, 33 , 12 , 23 , 31 ]T
平衡方程
ij, j bi 0
几何方程
3.1.3 弹性问题中的能量表示 弹性问题中的能量包括两类 • 所施加外力在可能位移上所作的功 –外力功
• 变形体由于变形而存储的能量 – 应变能
另外，根据研究的需要，还定义一些新组合的物理量，如势能(以位移 为基本变量的表达)、余能(以应力为基本变量的表达)等。
03:53
15
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
w z
并不是严格满足，真实的 ，但
由于板很薄，它的数值变化很小， 可以认为 随z变化很小。
03:53
13
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
(2) 平面应变情形 前提条件是：有一个无限长的等截面柱形体，所承受的边界条 件(外力和约束)不随z 变化，由于任意一个横截面都为对称面， 则有沿z方向的位移和应变为零，即
x
E
( x
y)
x , y , xy
z yz xz 0 x , y , xy
z yz xz 0
yz xz 0 z ( x y )
体力、面力的作用面平行于 体力、面力的作用面平行于xOy
xOy平面，外力沿板厚均布且
平面，外力沿 z 轴无变化
只作用于板边
v(x, yˆ 0)
在问题内部，由体积力 bi 在对应位移 ui上所作的功（in ）
则外力的总功为 W (bxu byv bzw)d sp ( pxu pyv pzw)dA
体积力做的功
面力做的功
biuid sp piuidA
03:53
16
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
(2) 应变能 以位移为基本变量所表达的变形能叫做应变能(strain energy)； 3D情形下变形体的应力与应变的对应关系为
U( , )xy
1 2
xydxdz
u
1 2
yxdydz
v
1 2
xy
u y
u x
dxdydz
1 2
xy
xy
dxdydz
03:53
19
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
整体应变能 由叠加原理，将各个方向的正应力与正应变、剪应力与剪应变 所产生的变形能相加，可得到整体变形能
《弹塑性力学》课堂教学系统
系统制作：雷丽萍 曾攀 (清华大学机械工程系)
第2章平面弹性问题基本变量及方程
2.1变形体的描述与指标记法
2.2 弹性体的基本假设
2.3 基本方程之一：平衡方程
2.4 基本方程之二: 几何方程
2.5 基本方程之三：物理方程
2.6 边界条件
2.7 基本方程汇总
2.8 讨论1：平面应力问题
yy(x,y,z)
xz(x,y,z) xy(x,y,z)
yy(x,y+dy,z)
dz yz(x,y,z)
yz(x,y+dy,z)
03:53
z
zy(x,y,z)
y
zz(x,y,z) dy
x
bz by
dx bx
9
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
基本方程
平衡方程 几何方程 物理方程
xx xy xz bx 0 x y z
1 E
( yy
xx )
xy
1 G
xy
或写成另一种形式
xx
E 1 2
( xx
yy )
yy
E 1 2
( yy
xx )
xy G xy
03:53
3
上节课回顾
边界条件（BC） 位移边界条件BC(u)
u u
v
v
on Su
力边界条件BC(p)
xxnx xyny px
xynx yyny p y
[xx yy ]T => [x y ]T
[ xx 平衡方程
yy x]T => [ y ]T
xx
x
xy
y
bx
0
yy
y
xy
x
by
0
03:53
2
上节课回顾
几何方程
xx
u x
yy
v y
xy
u y
v x
物理方程(薄片平面应力)
xx
1 E
( xx
yy )
yy
3.3 球对称问题的基本变量及方程(球坐标)
03:53
8
3.1 一般空间问题的基本变量及方程(直角坐标)
3.1.1 基本变量及方程
位移：u, v, w
应变： xx, yy , zz , xy , yz , zx 应力：xx,yy ,zz ,xy ,yz ,zx
zz(x,y,z+dz) zy(x,y,z+dz)
x
x
u 0 ，w 0
y z x xy yz xz 0
y z 0 xy yz xz 0
体力、面力沿厚度均布无变 化
形0状3:53 z向尺寸远小于板面尺寸（等 z向尺寸远大于xOy平面内的尺寸
厚度薄平面）
（等截面长柱体）薄平面）
x向尺寸远大于截面尺寸6
上节课回顾
平面变形体的构形及刚体位移表达
2.9 讨论2：平面应变问题
2.10讨论3：平面弯曲问题
2.11平面变形体的构形及刚体位移表达
03:53 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
1
上节课回顾
(1) 分量形式
平面问题三大类变量汇总如下：
位移分量： u v
应力分量：xx yy xy 应变分量：xx yy xz
注意：一般的教科书都将正应力和正应变简写成
ij
1 2
(ui, j
u j,i )
物理方程 边界条件
ij
D1 ijkl kl
ij Dijkl kl
ui ui on Su
ijnj pi
on Sp
以上变量和方程是针对从任意变形体中所取出来的dxdydz微小体元来建立
的，因此，无论所研究对象(变形体)的几何形状和边界条件有何差异，但
基本变量和基本方程是完全相同的
(( xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx )d