二次函数经典例题及答案1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。

(1) 求这条抛物线的函数关系式；(2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ1 2 9 . 135y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) •析一2 25试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；(2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标.试题解析：(1 )•••抛物线顶点坐标为(25 -4 , - 2),•••设抛物线解析式为2 25 y=a (x+4) - 2为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点(2) 存在点 Q (-1 , -4 ) , Q (2 -9，-) , Q( - ] , - 4 ) 25理由如下：•••抛物线顶点坐标为( -4 , - 2 ),•••点D 的坐标为(-4 , 0),9令 x=0，则 y=-],£9令 y=0，则-x 2+4x- _ =0, 2整理得，x +8x-9=0 , 解得 x i =1, X 2=-9 ,9•••点 A (-9 , 0), C ( 0,-.),9• OA=9 OC=. , AD=-4- (-9 ) =-4+9=5 ,Jdf + OC‘ =. ^9; + (-)1 =—在Rt △ AOC 中 ,根据勾股定理， AC=\--9OC 7 逛 __ — ■ — * AC 座5• sin / OAC=-OA _ 9 _ 2來 JC ~9^--rcos / OAC=■① AD=QD 时，过Q 作QE 丄x 轴于点E ,•••抛物线过点 B (1, 0)，二 a (1+4)2-25=0，解得 a=2 ,所以，抛物线解析式为y=】(x+4) 2孚即 y= _ x 2+4x-J'AE3EJ：DE Tcp:根据等腰三角形三线合一的性质，AQ=2?ADcos/ OAC=X 5X QE i=AQ?sin / OAC=衣AE=AQ?cos / OA C A/5=8,所以，OE=OA-A E=9-8=1 , 所以，点Q的坐标为(-1 , -4 );②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E2,QE2=AQ?sin / OAC=X :'=上,AE=AQ?cos / OAC=X所以，OE=OA-AE=9-2 上, 所以，点Q的坐标为(2J- -9 , - * );③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点巳,所以，OE=9-】=-,•/ QE3丄x 轴，OCL OA •••△ AQE s s^ ACOQE OC:--95 9即］,解得 Q 3E 3=-,135所以，点Q 的坐标为(-_ ，- ■),135综上所述，在线段 AC 上存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2 -9，-) , Q(-】,-4 ), 使得△ ADQ 为等腰三角形.2. 如图，直线y= - x+3与x 轴，y 轴分别交于B , C 两点，抛物线y= - x 2+bx+c 经过B, C 两点，点A是抛物线与x 轴的另一个交点.(1) 求B C 两点坐标； (2) 求此抛物线的函数解析式； (3)在抛物线上是否存在点 P ,使S"A =S A CAB 若存在，求出P 点坐标，若不存在，请 说明理由.1) B ( 3, 0) C ( 0, 3)( 2)此抛物线的解析式为 y= - x 2+2x+3 . ( 3)存在这样的 P 点，其坐试题分析：(1)已知了过B 、C 两点的直线的解析式，当 x=0时可求岀C 点的坐标，当y=0是可 求岀B 点的坐标. (2)由于抛物线的解析式中只有两个待定系数， 因此将B 、C 两点的坐标代入抛物线中即可求岀 抛物线的解析式. (3)根据(2)的抛物线的解析式可得岀 A 点的坐标，由此可求岀 AB 的长，由于S MAB =G CAB ,而 AB 边为定值.由此可求岀P 点的纵坐标，然后将P 点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求岀 P 点的坐标.试题解析：(1)丁直线y= - x+3经过B C标为 P (0, 3),( 2, 3)•••当x=0 时y=3当y=0时x=3• B ( 3 , 0) C (0, 3)2(2 )•••抛物线y= - x +bx+c 经过B、Cr-32+3A+r = 0...V0+0+c = 3L…b=2，c=3 .2•此抛物线的解析式为y= - x +2x+3.2(3)当y=0 时，—x +2x+3=0 ; x i= - 1，X2=3.• A (- 1，0)设P (x，y)■/ S^ PAB=S^CAB1 1•—■ X 4X |y|= —X 4 X 3•y=3 或y= —32①当y=3 时，3= —x +2x+3•x i=0，X2=2P ( 0，3)或(2, 3)2②当y= — 3 时，-3= —x +2x+3•x i=i+ 广，X2=i — ,r•P (1+ J -，—3 )或(1 - .；' -，- 3).因此存在这样的 P 点，其坐标为 P ( 0, 3),( 2, 3)( 1+」二，-3)或(1 -〒，-3)23.已知：如图，抛物线 y=ax+bx+2与x 轴的交点是 A ( 3, 0)、B( 6, 0),与y 轴的 交点是C.(1) 求抛物线的函数表达式；(2)设P(x , y ) (0v x v 6)是抛物线上的动点， 过点P 作PQ/ y 轴交直线BC 于点Q① 当x 取何值时，线段 PQ 的长度取得最大值，其最大值是多少？② 是否存在这样的点 P ,使厶OAQ 为直角三角形？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由.1(1)所求抛物线的函数表达式是y=「x 2 - x+2 . ( 2)当x=3时，线段PQ 的长度取得最大值.最3 3 12 _6_大值是 1.( 3) P (3, 0)或 P (】，•！)或 P ( 1，二)析试题分析：(1)已知了 A , B 的坐标，可用待定系数法求岀函数的解析式. (2)©QP 其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在(1)中已经求岀，而一次函数可根据 B , C 的坐标，用待定系数法求岀. 那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式， 得岀的新的函数就是关于 PQ x 的函数关系式，那么可根据函数的性质求岀 对应的x 的取值.(3 )分三种情况进行讨论：当/ QOA=90时，Q 与C 重合，显然不合题意•因此这种情况不成立; 当/ OAQ=90时，P 与A 重合，因此 P 的坐标就是 A 的坐标；当/ OQA=90时，如果设 QP 与x 轴的交点为 D,那么根据射影定理可得岀DQ=OD?DA 由此可得 岀关于x 的方程即可求出x 的值，然后将x 代入二次函数式中即可得出 P 的坐标.试题解析：(1 )•••抛物线过 A (3, 0), B ( 6, 0),*------- dO_— \pXPQ 的最大值以及相J9fl + 3i+2=0[1a ——t 9解得：.0 = T,•••所求抛物线的函数表达式是丁 X2- x+2 .(2)①••当x=0 时，y=2 ,•••点C的坐标为(0, 2).设直线BC的函数表达式是y=kx+b .则有 - ,Jt = -i:3 解得：0 = 2 .1•直线BC的函数表达式是y= - .- x+2 .•0v x v 6，点P、Q的横坐标相同，1 ]•PQ=y o-y p=(―丄x+2)—( - x2-x+2)1 2=—-X2+ -- x1=—■( x—3) 2+1•••当x=3时，线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.②解：当/ OAQ=90。

时，点P与点A重合，•P (3, 0)当/ QOA=90。

时，点P与点C重合，•x=0 (不合题意)当/ OQA=90。

时，设PQ与x轴交于点D .•••/ ODQ+ / ADQ=90 °，/ QAD+ / AQD=90 ° ,•••/ OQD= / QAD .又•••/ ODQ= / QDA=90 ° ,•△ ODQ s\ QDA .DO DA••• ：-_；二:，即DQ2=OD?DA .1•••（-_：x+2 ）2=x （3- x）,10x2- 39x+36=0 ,3 125 J…X i= . , X2=-,13 3 3•y i= 7 x（ -）2- - +2= -!；12 12 _6y2= x（ - ）2- ： +2= -「；3 3 12 £•P C ,-）或P（i ,「）.3 3 12 6_•••所求的点P的坐标是P （3, 0）或P （一，•）或P （「，二）肿/O D\p ----- 3■-4.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过A( -1 , 0)、B (3，0)两点，抛物线与y轴交点为C,其顶点为D,连接BD点P是线段BD上一个动点(不与B, D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E,连接BE(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（PBE的面积为一，求 .与’ 的函数关系式，写出自变量［的取值范围（1）? r D（1, 4）；（2）舀—』冷裁（一■'）解析试题分析：（1）本题需先根据抛物线•…—经过A （- 1, 0）、B （3, 0）两点，分别求岀a、b的值，再代入抛物线.厂七「即可求岀它的解析式.（2）本题首先设岀BD解析式’，再把B、D两点坐标代入求岀k、b的值，得岀BD解析式，再根据面积公式即可求岀最大值.试题解析：（1）丁抛物线•丁（庚带I；）经过A （- 1，0）、B （3，0）两点.••把（-1，0） B （3，0）代入抛物线得：•- - •，--，—抛物线解析式为：•尸上+2丫+3「（“疔 +」，•••顶点D的坐标为（1，4）;>+4=0 （2）设直线BD解析式为：了二m—.：）把B、D两点坐标代入，得：^ -，解得: 亠5.如图，抛物线与x轴相交于B, C两点，与y轴相交于点A,点P（八「，池；.-）（a是任意实数）在抛物线上，直线■- 「经过A，B两点.（1）求直线AB的解析式；（2）平行于y轴的直线-交直线AB于点D,交抛物线于点 E.①直线.（O W t W 4）与直线AB相交F,与抛物线相交于点G.若FG ：DN 3 : 4, 求t的值；②将抛物线向上平移m（ m> 0）个单位，当EO平分/ AED时，求m的值.解析试题分析：（1）根据点P的坐标，可得岀抛物线解析式，然后求岀A、B C 的坐标，利用待定系数法求岀直线AB的解析式;表示岀DE FG,再由FG: DE=3: 4，可得岀t的值；②设点A （0, 2+m）,则点E （2, 5+n），作AH^ DE,垂足为H,在Rt△ AEH中利用勾股定理求岀AE,根据EO平分/ AED及平行线的性质可推岀/ AEO=/ AOE AO=AE继而可得岀m的值.q HI试题解析：（1）丁P , - - ■- ）（a是实数）在抛物线上，亠7 L (1)n Y+—x+2=0 x = —… _• 一时，即］,解得i ,-',当x=0 时，y=2 .••• A (0 ,1 卩“2), B (4 , 0), C ( - , 0)，将点A、B的坐标代入*鼻也二'刃，得：- ,(2［①根据点E ( 2 , 5), D (2, 1),-r+-r+2G( . , - ), FC, 1 ), •••抛物线的解析式为尸如+九+2=*（护皿（?+2（2）①1或3 :②-f ;+-r+2D (2, 1), G(. , ■ ), FC,--F +丄『+2-(-匕+2)2 ,DE=4, FG=.-==丨-良,• FG: DE=3: 4,二「，解②设点A (0, 2+m ),则点 E (2, 5+n )，作 Ab U DE 垂足为 H,•••二-…二三=「□》〜」-曲U 即 AE=0i , • E0平分/ AED, •••/ AEO=Z DEO • AOII ED, •••/ DEO 玄 AOE :丄 AEON AOE •-AO=AE 即- 解得m=46.如图，二次函数 y= ；x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A (3 , 0) , B (- 1, 0),与y 轴 交于点C.若点P , Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 AB, AC 边运动， 其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；(2) 当P, Q 运动t 秒时，△ APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定 此时四边形APDQ 勺形状并求说明理由.(3)当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E ,使得以A , E , Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由解得:1-，故直线 AB 的解析式为(2［①，••点 E ( 2, 5),4 £(1)y= ；x2- ；x - 4. C (0,- 4);(2)四边形APDQ为菱形；_1 9(3)存在满足条件的点E,点E的坐标为(-；,0)或(-■,0)或(-1, 0)或(7,0).4y= :x2+bx+c中，求得b、c,进而可求解析式及C坐标.(2)注意到P, Q运动速度相同，则△ APQ运动时都为等腰三角形，又由AQ=D Q易得四边形四边都相等，即菱形.(3)等腰三角形有三种情况，AE=EQ AQ=EQ AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得E大致位置,设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标.4试题解析：(1).•二次函数y= ；x2+bx+c的图象与x轴交于A (3, 0), B (- 1, 0),0=^*9+3b+cb=解得-448/• y= 3x2- 3x -二 C( 0 ,-4).4.解析试题分析: 1)将A, B点坐标代入函数A、D 对称，贝U AP=DP(2)四边形APDQ为菱形•理由如下:Q作, FQ±AP于F,•/ AP=AQ=t, AP=DR AQ=DQ••• AP=AQ=QD=DP•••四边形AQDP为菱形(3)存在.如图1,过点Q作QD! 0A于D,此时QD// OC••• A (3, 0), B (- 1 , 0), C( 0, - 4), 0(0, 0)•AB=4 , OA=3 OC=4•AC=：广「'一=5 , •••当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4 , •AQ=4.•••QD// OCQD 二AD二AQ.••在H三QD AD . 4•■12•QD= , AD=.①作AQ的垂直平分线，交AO于E ,此时AE=EQ即厶AEQ为等腰三角形, 12设AE=x,贝U EQ=x DE=AD- AE=—x ,121610•在Rt △ EDQ中, (-x) 2+ ( )2=x2, 解得x='101• OA— AE=3—=- 31• E (- ： , 0)②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E ,此时QE=QA=412•••ED=AD=,24••• AE=,24 _9• OA- AE=3- =-',9•- E (- ■, 0).③当AE=AQ=4时，1•当E在A点左边时，•/ OA- AE=3- 4=- 1,•- E (- 1, 0).2 •当E在A点右边时，•/ OA+AE=3+4=7•- E ( 7 , 0).19综上所述，存在满足条件的点E,点E的坐标为(-；，0 )或(-',0)或(-1, 0 )或(7 ,0).7.如图，已知抛物线；- -一与x轴的一个交点为A (-1 , 0),另一个交点为B,与y轴的交点为C (0, -3 )，其顶点为D,对称轴为直线"-1.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M 的坐标；(3)将厶OBC沿x轴向右平移m个单位长度(0v m<3)得到另一个三角形△ EFG将△ £卩6与厶BCD重叠部分的面积记为S,用含m的代数式表示S."J …，以C 为圆心，AC 为半径作圆与y 轴有两个交点,为M 厂或M 厂，0<m<-(3)分别求岀直线 BC BD 的解析式，分两段计算重叠的面积：①-，②-<wi<3试题解析： (1)由题意可知，抛物线丿J 也： 山 -与x 轴的另一个交点为 B( 3, 0)，9o+35+c 二 0a-b^c =0c=_3，解得(2) M 的坐标为 |OJ)(俪-3).?(0 < W —) < ?M < 3)解析试题分析：(1)抛物线与x 轴的一个交点为 A(-1，0)，对称轴为直线 •— J得到抛物线与x 轴的另一个交点为 B ( 3, 0)，把A 、 B 、C 的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式;(2)①当AC=AM 寸C 、M 关于x 轴对称，得到则,a②当AC=CM 寸，AC= 故抛物线的解析式为:②当AC=CM寸，AC=: -- 710 ，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M厂或M厂；所以，点M的坐标为 '，厂，厂，|3A?+i = O (3) 记平移后的三角形为△ EFG设直线BC的解析式为y=kx+b，^3 ，解<k=i得：0 =，则直线BC的解析式为J二工_、, △ OBC沿x轴向右平移m个单位长度(0 v m<3)得到△ EFG易得直线FG的解析式为$ = -朋.设直线BD的解析式为y=k' x+b '，则：l&L，解得1於=-6,3则直线BD的解析式为y = 2x-6，连结CG直线CG交BD于H,贝U H ( ] , -3 )在厶OBC沿x轴向右平移的过程中,0 <m<-①当-时，如图1所示.y = 2x-6设EG交BC于点P，GF交BD于点Q,贝U CG=BF=m BE=PE=3- m,联立J三尤一孑—崛，x—3-m解得丿v-加,即点Q( 3 - m, -2m),(2)①当AC=AM寸C、M关于x轴对称，得到-<m<3②当. 时，如图2所示.图2设EG交BC于点P,交BD于点N,贝U OE=m BE=PE=3- m 又因为直线.-- ，所以当x=m时，得y=2m- 6,所以点N (m, 2m-6).1 、， 1 i 1P Q Q -(3-w)(6-2ml--(3-w)一1 =_1—9-m「3坯+ —BD的解析式为综上所述,3…一一m+ JW7S=l 21 2 , 9」」咐—17 7(0 5 訂)(-<m<3)28.如图①，抛物线y=ax+bx+c (0)与x轴交于点A (2, 0)和点 B (-6, 0), 与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与 .轴交于点M，在对称轴上存在点卩，使厶CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.的坐标.(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.(1) y=- ] X2-2X+6 ;(3) 当Q在(-2 , 12)的位置时，|QB-QC|最大;63 15(4) 最大值为 -;E坐标为(-3 ,-).解析试题分析：(1)将点A (2, 0)和点B (-6 , 0)分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组求岀a、b的值，进而得到抛物线的解析式；(2) 根据(1)的函数解析式得岀抛物线的对称轴为X=-2，再求岀M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为(0, 6)，根据M C的坐标求岀CM的距离•然后分三种情况进行讨论：①CP=PM②CM=MP③CM=C P(3 )由抛物线的对称性可知QB=QA故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC|最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q,利用待定系数法求岀直线AC的解析式，再将X=-2代入，求岀y的值，进而得到Q点的坐标; (4)由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，(3)设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足\QB-QC\最大时，求出Q点(2) P (-2 ,10)或P (-2 , 2J--')或P (-2 , -2 )或P (-2 , 12);图1 图J过E 作EF ±x 轴于F ,四边形BOCE 勺面积=三角形BFE 的面积+直角梯形FOCB 的面积•直角梯形 FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了 OC 的长.在三角形BFE 中，BF=BO-OF 因此可用E 的横坐标表示岀 BF 的长.如果根据抛物线设岀 E 的坐标， 然后代入上面的线段中，即可得岀关于四边形 BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值•即可求岀此时 E 的坐标.试题解析：（1）由题知:J4d + 2A + 6 = O |36应-6^ + 6 = 0，设P 点坐标为(-2 ， t ），•••当 X =0 时，y=6，• C （ 0，6），M （-2，0），2• CM= （-2-0 ） 2 2+ （ 0-6 ） =40.10①当CP=PM 时，（-2 ） 2+ （t-6 ） 2=t 2，解得 t= '■，10• P 点坐标为： P i （-2， ?）； ②当CM=PM 寸，40=t2，解得 t= 士 2 J -「，• P 点坐标为： F 2 （-2，2J- ■）或 P 3 （-2，-2 J -「）；③当CM=CP 寸，由勾股定理得： 40= (-2 ) 2+ (t-6 ) 2,解得t=12， • P 点坐标为：P* (-2，12)数的性质即可求得四边形 解得:b = -2故所求抛物线解析式为:y=- _ X 2-2X +6 ;(2 )•••抛物线解析式为: y=- _ X 2-2X +6，•••对称轴10综上所述，存在符合条件的点P ,其坐标为 P (-2 ,-)或 P (-2 , 2：h )或 P(-2 , -2 丄.)或 P (-2 , 12);(3 )•••点A ( 2 , 0)和点B (-6 , 0)关于抛物线的对称轴 x=-2对称， ..QB=QA•••|QB -QC|=|QA-QC| ,要使|QB-QC|最大，则连结 AC 并延长，与直线x=-2相交于点 Q 即点Q 为直线AC 与直线x=-2 的交点， 设直线AC 的解析式为y=kx+m ，• A ( 2，0)，C ( 0，6)，,2fc-l-m = 0•期=6• • •・ ，解得 ，• y=-3x+6 ，当 x=-2 时，y=-3 X( -2 ) +6=12，故当Q 在(-2，12)的位置时，|QB-QC|最大；1(4) 过点 E 作 EF 丄x 轴于点 F ,设 E (n , - [ n 2-2n+6 )(-6 v n v 0),S 四边形 BOC = — BF? EF+ ■ ( OC+EF ? OF\ 严 0\B X匿J则 EF=- . n 2-2n+6， BF=n+6, OF=-n ，F 汐1 1 1 1=_ ( n+6) ?( ] -n 2-2 n+6 ) + _ (6- ] n 2-2 n+6 )6363所以当n=-3时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为-15此时，点E 坐标为（-3 ,1 ）.9.如图，在平面直角坐标系中， 一抛物线的对称轴为直线-〕，与y 轴负半轴交于C点，与x 轴交于A 、B 两点，其中B 点的坐标为（3，0），且0B= OC （1） 求此抛物线的解析式；（2） 若点G （ 2，y ）是该抛物线上一点，点 P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运 动到什么位置时，△ APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和△ APG 的最大面积.（3） 若平行于x 轴的直线与该抛物线交于 M N 两点（其中点M 在点N 的右侧），在x 轴上 是否存在点0,使厶MNC 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说 明理由.(-n )2n -9n+18=-(n+3) .,P _15A 27（i）y = ；（2）P点的坐标为辽‘ 4丿，$丄护&的最大值为8 ；（3）Q （― , , 0）或（，，0）或（、,0）或（ -, 0）或（1, 0）.解析试题分析：（1）设抛物线的解析式为- ■■■■ --■■■■-- ，根据已知得到a-b+c=0'■ 9a + 36 + c = 0C（0,- 3）, A（- 1, 0），代入得到方程组c= ，求岀方程组的解即可；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F,求岀点G的坐标（2 , - 3），设直线AG为j-t +.7 :肚卜诅代入得到」■，求岀方程组的解得岀直线AG为/ 二 J*设P （x, 「一「一；），贝U F （X,—x —1）, PF二—F F 二，根据三角形的面积公式求岀厶APG的面积，化成顶点式即可；（3）存在•根据MN/ x轴，且M N在抛物线上，得到M N关于直线x=1对称，设点M 为（m "丁'）且m> 1,得到MN=2（ m— 1）,当/ QMN=90，且MN=MQ^，由△MNQ为等腰直角三角形，得到■' ' 1' I"' " ' '，： ' 'I ,求岀m的值，得岀点M和点Q的坐标；当/ QNM=90，且MN=NQ寸，同理可求点Q的坐标，当/ NQM=90，且MQ=NQ时，过Q作QE! MN于点E,则QE=] MN根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标.试题解析：（1）设抛物线的解析式为.「-汰宀肚-mw由已知得：C ( 0 , —3), A (—1 , 0),a-b + c = 0 a = 1■\9a + 3b + c =0，解得•••抛物线的解析式为一」'；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,由一一■，令x=2，则y= —3，•点G 为（2,—3）,设 P (x ，- 「)，贝U F (x , - x — 1), PF — ..-.]3 r ]— S 丄序 一醪F 二—(—X + ：十 J ? = —— X + T T J1 X =—•••当 [时，△ APG 的面积最大，此时 （3）存在.••• MN// x 轴，且 M N 在抛物线上，• M N 关于直线x=1对称, 设点M 为（•.，_ 一）且过；川，...'宀呎-■ ■-当/QMN=90，且 MN=M 时，△ MNC 为等腰直角三角形，• MQL MN 即MQLx 轴，即 _ ： ] _ •- ■ 「或 i ■- ■-解得 「•汇，〔—'■-（舍）或■<. = ■ \. 一、（舍），-'-<'■）或（；，），•点 Q 为（-，0）或（昭，0），当/QNM=90，且MN=NQ 寸，△ MNC 为等腰直角三角形，同理可求点 Q 为（一，，0）或（ ，，0），当/NQM=90，且MQ=NQ 寸，△ MNC 为等腰直角三角形，L -x2（m-l ）= 过 Q 作 QE ± MN 于点 E ,贝U QE=2 MN2•••方程有解，•由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点 Q 为（1, 0）,综上所述，满足存在满足条件的点Q 分别为（—，，0）或（■ ' , 0）或（ “ ,0）或（-:,0）或（1, 0）.设直线AG 为._-,J-t+n=O+，解得:k--l,n = -1 ,即直线AG 为P 15AP 点的坐标为I 』 4」•••点M 为（10. 在梯形 ABCD 中, AD// BC, BA ! AC, / ABC = 45°, AD = 2 , BC = 6，以 BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A 在y 轴上.(1) 求过A 、D C 三点的抛物线的解析式；(2) 求厶ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标，并求O M 的半径； (3)E 为抛物线对称轴上一点，F 为y 轴上一点，求当 ED+EC + FD + FC 最小时，EF 的 长；(4) 设Q 为射线CB 上任意一点，点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样 的点P 、Q 使得以P 、Q C 为顶点的三角形与△ ADC 相似？若存在，直接写出点 P 、Q 的坐标，若不存在，则说明理由•设抛物线的解析式为 y=a (x+1)( x - 3). 将(0, 3)代入得 a=- 1，所以■'_■.(1 )由题意知 C (3, 0)、A (0, 3).D ( 2, 3).由抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴另一交点为(-1 , 0)(2 )由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点.由等腰直角三角形性质得0M平分/ AOC即yOM=x ••• M (1，1)•••/ B=45 °，/ AOB=90，• A0=B0=3 故B点坐标为：(-3, 0),再利用D (2, 3)，代入y=ax+b，得:2a+b=3故BD直线解析式为:9当x=0，y=：，根据对称轴为直线x=1，则y=2，9故 F (0，1 )、E (1, 2)，连MC得MC=t，即半径为由对称性可知：当ED+EC+FD+Fd小时，E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点,(4)可得△ ADC中, AD=2, AC= DC=解得:假设存在，显然/ QCM 90°,则/ QCP=45或/ QCP h CAD当/QCP=45 时，OR=OC=3则R点坐标为(0,- 3),将C, R代入y=ax+b得岀：V-33a+b=0L'a=l解得：1曰7,y= - x+3.这时直线CP的解析式为y=x - 3,同理可得另一解析式为:当直线CP的解析式为y=x - 3时，则 [- - ■,解得：二人逬二.可求得P (- 2,- 5),故PC=.设CQ=x 则'■W解得：x=「或x=15._1•••Q ( / , 0)或(-12, 0).AD QC当y= - x+3即P与A重合时，CQ=y贝U二=-■',2__ y_ _2_ 3^2即 J . : = 'r ],或 J . ' =■,解得CQ=2或9,当/QCP=/ ACD 时，设CP 交y 轴于H ,连接ED,贝U ED± AC, ••• DE=,EC=” 一 , 易证：△ CDE^A CHQHO 3所以 =:,3• HO=1 .1 3v = — x ~ —可求HC 的解析式为'.-13 y=—x _— 22 V=- X 3+2X +3,/10 设CQ=x 知1527• x= 一或 x= 一■<联解得Plf, 4/ PC=.'-故 Q (1, 0)或(-6, 0)* 3 、 —一 JJQ 1 4丿 或1 4•丿••• P'• PC=丽_ 3Q 或価_ 3厲35 21• CQ=_.或•，所以Q L 」3 9]0)； P3根据交点式即可求岀过 A 、D 、C 三点的抛物线的解析式;(2 )由外接圆知识知 M 为对称轴与 AC 中垂线的交点•由等腰直角三角形性质可得 连MC 得MC=】-，即为半径;(3) 由对称性可知：当 ED+EC+FD+F 最小时，E 为对称轴与 AC 交点，F 为BD 与y 轴交点，再根据待定系数法求岀 BD 直试题分析：(1 )过D 作x 轴垂线，由抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴另一交点为 (-1 , 0).再同理当 H 在y 轴正半轴上时，HC 的解析式为综上所述，P1 (- 2,- 5)、Q1 (j , 0)或(-12, 0); P2 (0, 3)、Q2 (1, 0)或(-6,Q4M 点的坐标,。