f′(x)＝_e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝__x_
[思考辨析 判断正误] 1.若 y＝ 2，则 y′＝12×2＝1.( × ) 2.若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x.( × ) 3.f(x)＝x13，则 f′(x)＝－x34.( √ )
类型一 利用导数公式求函数的导数
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝__－__s_in__x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
1 跟踪训练2 已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ e .
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得 y'|x=x0 ＝x10＝k，
①
又y0＝kx0，
②
而且y0＝ln x0，
③
由①②③可得 x0＝e，y0＝1，则 k＝1e.
命题角度2 求切点坐标问题 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
,
∴y′＝(
3
x2
)′＝
3
x
1 2
2
＝32
x.
(5)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x，
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求一 点P，使△ABP的面积最大. 解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y ＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
∴所求的最短距离
d＝12－142－2＝7
8
2 .
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点 P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最 值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取 最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.
幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运3
(1)已知函数f(x)＝
1 x3
，则f′(－3)等于
B.243
√D.－217
解析 因为f(x)＝x－3， 所以 f′(x)＝－3x－4＝－x34， 所以 f′(－3)＝－－334＝－217.
(2)已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝ 1 . 解析 因为f(x)＝ln x(x>0)， 所以 f′(x)＝1x， 所以 f′(x0)＝x10＝x120，所以 x0＝1.
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换
对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导.
如y＝x14
可以写成y＝x－4，y＝5
x3
可以写成y＝
3
x5
等，这样就可以直接使用
类型二 利用导数公式研究切线问题
命题角度1 求切线方程或切线斜率 例 2 已知曲线 y＝f(x)＝ x，y＝g(x)＝1x，过两条曲线交点作两条曲线的 切线，求两切线与 x 轴所围成的三角形面积.
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数 是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决.