抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22222>-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22>=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）0202px y <⇔. （2）P 在抛物线上0202px y =⇔. （3）P 在抛物线外0202px y >⇔.2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22>=p px y ，则焦半径20px PF +=，2max p PF =. 3. )0(>p p 的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4221p x x =.（2）221p y y -=.（3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2.焦点弦长公式2：α2sin 2pAB =（α为直线AB 与对称轴的夹角）.（4）AOB ∆的面积公式：αsin 22p S AOB =∆（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1） 弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0AB p k y =（3） 直线AB 的方程为000(x x )py y y -=- （4） 线段AB 的垂直平分线方程为000(x x )y y y p-=-- 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法） （1）2(A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4A x =-(2) 2(A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4A ，准线为4A y =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116y =-7．参数方程22(p 0)y px => 的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8．切线方程和切点弦方程抛物线22(p 0)y px =>的切线方程为0000(x x ),(x ,y )y y p =+为切点切点弦方程为00(x x ),y y p =+点00(x ,y )在抛物线外与中点弦平行的直线为00(x x ),y y p =+此直线与抛物线相离，点00(x ,y )（含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。
题型归纳及思路提示题型1；抛物线的定义与方程 思路提示求抛物线的标准方程的步骤为：(1) 先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： (2) 根据题目条件列出P 的方程 (3) 解方程求出P ，即得标准方程1023例． 已知抛物线22(p 0)y px =>的准线与圆22670x y x +--=相切,求的值为（ ）A ．12B ． 1C ． 2D ．4 解析；抛物线的准线为2p x =-，圆22670x y x +--=的标准方程为22(x 3)16y -+= ，由2p x =-与圆相切，知3()42p--=，解得2p =，故选C评注 准线 是抛物线的重要性质，要熟记准线方程。
变式1 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）A ．28y x =- B ． 28y x = C ．24y x =- D ．24y x =变式2 设00(x ,y )M 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ． []0,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞例10.24 若点p 到直线1x =-的距离比它到点()2,0的距离小1 ，则点p 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 解法一：（直接法）设(x,y)P ，依题意有11x +=，当1x ≥- 时，11x ++= ，整理得28y x =当1x <- 时，24(x 1)y =- ，显然不成立，故点p 的轨迹方程为28(x 0)y x =≥解法二：（定义法）由题意可知，点p 只能在1x =-的右侧，点p 到直线2x =- 的距离等于它到点()2,0的距离，根据抛物线的定义知，点p 的轨迹是抛物线，故选D变式1 设圆C 与圆22(y 3)1x +-= 外切，与直线0y = 相切，则C 的圆心轨迹为（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆变式2 动点M 到点(2,1)F 的距离和到直线:34100l x y +-= 的距离相等，则动点M 的轨迹为（ ） A ．抛物线 B ．直线 C ．线段 D ．射线10.25例 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4 ，则点P 抛物线焦点的距离是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 解析 由焦半径公式4262p pPF x =+=+= 知点P 到焦点的距离为6，故选B 变式1 （2012四川理8）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,y )M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ．C ．4D ．变式2 已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF += 则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．34 B ．1 C ．54 D ．74变式 3 设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．310.26例 过抛物线22(p 0)y px => 的焦点F 作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于,A B 两点（点A在x 轴上方），则AFBF= 解析 如图10-10所示，由题意得准线:2pl x =-，作AC l ⊥ 于点C ，BD l ⊥于点D ，BH AC ⊥于点H ，则,AF AC BF BD == ，AH AC BD AF BF =-=- ，因为在三角形AHB 中，60HAB ∠=，所以cos60AH AF BF AB AF BF -==+ ，即1()2AF BF AF BF +=- ，得3AF BF=变式 1 已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于,A B 两点，设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于变式2 已知点(2,0)A ，抛物线2:x 4C y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:3题型2 与抛物线有关的距离和最值问题 思路提示抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。
10.27例已知直线1:4360l x y -+= 和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．115 D ．3716分析 画出图形，利用等价转化，将距离之和的最小值转化为点到直线的距离。
解析 作辅助线如图10-11所示，连接PF 抛物线方程为24y x =，2l 为其准线，焦点为(1,0)F ，由抛物线的定义可如12111(F,l )2PH PH PH PF FH d +=+≥≥= ，故选A评注 本题考查抛物线的定义及转化与化归的数学思想变式 1 已知点P 是抛物线22y x = 上的一个动点，则点P 到点(0,2)M 与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．172 B ．3 C ．5 D ．92变式2 已知点P 在抛物线24y x =上，那么当点P 到点(2,1)Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．1(,1)4-B ．1(,1)4C ．(1,2)D ．(1,2)-变式 3 动圆满足过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切，直线:221l y x =++ 与动圆有公共点，则动圆的面积最小值为题型3 抛物线中三角形，四边形的面积问题 思路提示解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。
例10.28（2012北京理12）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60，则OAF 的面积为解析 解法一：直线l 的方程为3(x 1)y =- 没，代入24y x =得231030x x -+= 解得121,33x x == 得(3,23)A 11123322OAPA S OF y ==⨯⨯=解法二： 如图10-12所示，由题意得抛物线的准线:1l x =-，过A 作AC l ⊥于C ，FH AC ⊥于H ，连接,CF OA ，则AF AC =，又60CAF ∠=，故三角形ACF 为正三角形，因为2CH p == ，所以23FH =，所以11123322OAFSOF OH ==⨯⨯= 评注 解法一求出了交点A 的坐标，从而求得OAF 的面积；解法二利用了抛物线的定义及三角形的性质，得出OAF 中边OF 的高，计算量较小，方法更简捷变式1 （2012安徽理9）过抛物线24y x = 的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是坐标原点，若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．22B．2C．232D ．22例10.29 抛物线24y x=的焦点为F ，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK l⊥，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4B ．33C．43D．8分析作出图形，利用数形结合思想，在图中找到三角形的底和高从而使问题得以解决。