Σ
变
形
理
∂xi A Σ (ξΣ , t)g i (xΣ , t)∆ξΣ A ∂ξΣ [ i ] [ B ] ∂xΣ A = ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( x ) · ∆ξΣ GB (xΣ ) Σ Σ i Σ A ∂ξ ] [ ] [ Σ ◦ ◦ . ∂xi A Σ ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( x ) · Σ ( ξ + ∆ ξ ) − Σ ( ξ ) , = Σ Σ i Σ Σ Σ Σ A ∂ξΣ ∂xi Σ (ξΣ , t)g i (xΣ , t) ⊗ GA (xΣ ) ∈ T 2 (R3 ), A ∂ξΣ
谢锡麟
VΣ
A m ξ Σ = {ξΣ }A=1
◦
DΣ
V xΣ x Σ = xΣ ( ξ Σ , t ) X
m+1
Σ ( xΣ , t 0 ) Xm
xm Σ
m−1 xΣ
m xΣ = { x i Σ }i=1
t
VΣ
Figure 1: 高维曲面理论构型构造示意 1. 计算曲面变形梯度的物质导数, 有
˙ ˙ ∂xi ∂xi ∂xi ˙ A A Σ Σ Σ ˙ ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( ξ ) = ( ξ , t ) g ⊗ G + (ξ Σ , t)g i (xΣ , t) ⊗ GA , F = Σ Σ i Σ i A A A ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ˙ ∂xi ∂ 2 xi ∂x ˙i Σ Σ ( ξΣ , t) = A Σ (ξ Σ , t) =: (ξΣ , t) = A A ∂ξΣ ∂ξΣ ∂t ∂ξΣ ∂ gi ∂ gi ˙ g i (xΣ , t) = (xΣ , t) + x ˙s (xΣ , t) = Σ ∂t ∂xs Σ 由此, 有
理
行相同而自然为零, 所以有
gs V ·
=
曲面变形梯度的行列式定义为 det F ( i ) √ gΣ ∂xΣ √ (ξ Σ , t). det A ∂ξΣ GΣ
证明 高维曲面理论的构型构造如图1所示, 以下按高维情形进行证明.
讲 稿
Σ Σ
·V.
2
谢
锡 麟
曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质
曲面形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日
1.1

变形梯度的可微性定义
元之间的线性变换; 按微分学可做如下分析: Σ (ξ Σ + ∆ξΣ , t) − Σ (ξΣ , t) = =
此处
称为介质形态为曲面的连续介质有限变形运动的变形梯度, 或简称为 “曲面变形梯度” . 就曲面有限变形理论, 只有任意张量场沿着曲面上某一曲线的变化率, 就此可定义 “相对于 Euler 坐标的全梯度”, 如对 Φ, 可有 Φ⊗
论
讲 稿
∂Φ (xΣ , t) ⊗ g s . ∂xs Σ 1
与一般情形一致, 变形梯度可以理解为初始物理构型中有向线元同当前物理构型中有向线
∂xi ∂Σ A Σ ( x , t ) (ξ Σ , t)∆ξΣ Σ A ∂xi ∂ξ Σ Σ
谢
1 知识要素
锡 麟
曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 证明 基于置换算子, 相关方阵行列式可表示如下: ] [ ( i ) m ∑ ∂x ∂xΣ ∂x1 Σ · · · σ(Σ (ξΣ , t). det (ξ Σ , t) = sgnσ A σ (1) m) ∂ξΣ ∂ξ ∂ξ σ ∈P
1.3
限
适用于高维曲面理论. 1. 2.
Σ d F = (V ⊗ ) · F , 此处 dt Σ
变
变形梯度的基本性质
性质 1.2 (变形梯度基本性质). 变形梯度具有如下基本性质, 不仅适用于二维曲面理论而且 ∂ (xΣ , t); ∂xs Σ
Σ Σ
形
有
d det F = θ det F , 此处 θ dt
F
限
1.2
基础性引理
有
为研究曲面变形梯度的基本性质, 需要以下引理. 引理 1.1 (变形关系行列式物质导数). ( det ( i ) ˙) ∂xi ∂x ˙s ∂xΣ Σ Σ (ξ Σ , t) = (ξ Σ , t). s (xΣ , t) det A A ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ Σ
如不引起混淆, 也可简称为变形梯度.
m
谢锡麟
Σ
Σ
由此, 可有 (
i=1
σ ∈Pm
论
Σ
˙) ∂xi Σ det (ξ Σ , t) A ∂ξΣ ˙1 ˙ m−1 m 1 2 m ∑ ∂x ∂x ∂xΣ ∂x ∂x ∂xΣ (ξ Σ , t) · · · σ(Σ + · · · + σΣ · · · σ(Σ = sgnσ σΣ (1) σ (2) m) (1) m−1) σ (m) ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ σ ∈ Pm ˙i m ∑ 1 m ∑ ∂x ∂x ∂x (ξ Σ , t) = sgnσ σΣ · · · σΣ · · · σ(Σ (1) (i) m) ∂ξ ∂ξ ∂ξ i=1 σ ∈Pm Σ Σ Σ ] [ m 1 i ∑ ∑ ∂xΣ ∂x ˙Σ ∂xm Σ = sgnσ · · · σ(i) · · · σ(m) (ξ Σ , t) σ (1) ∂ξ ∂ξΣ ∂ξΣ i=1 σ ∈Pm Σ [ ( ) ] m ∑ s i m ∑ ∂x ∂x1 ∂ x ˙ ∂x Σ Σ Σ = sgnσ (ξ , t) · · · (ξ , t) · · · σ(Σ (ξ , t) s (xΣ , t) σ (1) Σ σ (i) Σ m) Σ ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ Σ i=1 σ ∈Pm [ ] m ∑ ∑ ∂x ˙i ∂x1 ∂xs ∂xm Σ Σ Σ Σ = (xΣ , t) sgnσ · · · σ(i) · · · σ(m) (ξ Σ , t). σ (1) ∂xs ∂ξ ∂ξ ∂ξ Σ
在上式中, 对 σ 求和的结果为行列式, 故只有当 s = i 时此行列式才非零, 否则此行列式将有两 ( det [ ] ˙) m i 1 i m ∑ ∑ ∂xi ∂ x ˙ ∂x ∂x ∂x Σ Σ Σ (xΣ , t) sgnσ (ξ Σ , t) (ξ Σ , t) = · · · σΣ · · · σ(Σ i A σ (1) (i) m) ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ Σ i=1 σ ∈Pm ( i ) ∂x ˙s ∂xΣ Σ = (xΣ , t) det (ξ Σ , t). s A ∂xΣ ∂ξΣ