由此得旋度 rotA的表达式 ：
R Q P R Q P rotA { , , } y z z x x y i j k 或 rotA . x y z P Q R n 故向量场A 在点 M 处沿方向 的环量面密度 rot n A 可写成 rot n A (rot A) n rot A n 即旋度 rotA 在方向n 上的投影。
C
Pdx Qdy Rdz
环量。
下面以平面流速场来说明环量与旋转性质的关系。
设流速场v 的流线如图分布。取封闭的流线作为
积分曲线C ，因流线上每一点的流速都在该点的切
线上， 即 v 与 ds 同向，
所以
总是正的， 因而 C A ds 0 ，
v ds
v
C
这表明环量不为零反映了 C所包围的区域内有旋。
由 Stokes 公式，有
I ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
C
1 3 x y2 z2
1 3 y z 2 x2
1 3 4 ( x y z )dS. dS z 3 x2 y2
2dx dy 2

dxdy 2.
D xy
例 2．计算 I
C
( y z )dx ( z x )dy ( x y )dz ，
2
2
2
2
2
2
3 其中 C 为平面 x y z 截立方体 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 2
例 1．计算曲线积分 ( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz ，
C
x 2 y 2 1 其中C 是 曲线 ， 从 z 轴正向往 z 轴负向看 x y z 2
C 的方向是顺时针的。
解：设 表示 平面x y z 2上以C为边界曲线的曲面，
曲面
的正侧（或法线的正向）就决定 了闭曲线 C 的正向；反之亦然。
C
定理1（斯托克斯定理）
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑 闭曲线C 。空间 向量场 A {P ( x, y , z ), Q ( x, y , z ), R ( x, y , z )} 在某一包含曲面
的 空间域内具有连续的偏导数，则有
M
S ，
其中 M 为曲面 上的一点 ，S 为 的面积 。
当曲面 无限收缩于一定点 M 时(此时 M M ) ，有 1 1 lim A dS lim ndS M S C M S lim ( n) ( n) M , ( 4 )

若 n { cos, cos, cos } ，则有
即 rot n A ( n ) M .
M M
M
(5)
R Q P R Q P A( rotn ) cos ( ) cos ( ) cos y z z x x y
(6)
cos cos . y z Q R cos(,n) cos(,n), A为向量 在 n 方 这表明在点 M 处的环量面密度 rot n 向上的投影，显然，当 (, n ) 0时, cos(, n ) 取最大值， 即 n 的方向与 的方向相同时， rot n A 取最大值。 cos A 或 rotn x P A ( n) n rotn M
§10.6 旋度与斯托克斯公式
10.6.1环量与环量面密度 一、环量
定义设有向量场 A {P ( x, y , z ), Q ( x, y , z ), R ( x, y , z )} ，称
A 沿有向闭曲线 C 的 曲线积分

为
向量场 A 沿有向闭曲线 C 的
C
A ds
2u 2u 2u 2u 2u 2u ( )i ( ) j ( )k 0. zy yz zx xz xy yx
10．6．4 空间曲线积分与路径无关的条件
定理 2 若 A( x, y , z ) {P ( x, y , z ), Q ( x, y , z ), R ( x, y ( x, y , z )
O
M ( x , y , z )
y
x
M1( x, y , z ) M 2 ( x, y, z )
C ( AB)
C( AB)
Pdx Qdy Rdz
du u( x, y, z) B u( B) u( A). A
例 5．验证 ( x 2 2 yz ) dx ( y 2 2 xz )dy ( z 2 2 xy )dz 为某函数的全微分，并求其原函数。 i j k 0， 证：∵ x y z x 2 2 yz y 2 2 xz z 2 2 xy
R Q P R Q P , , }， 若记 { y z z x x y
则 Stokes 公式可写为
C
A dS n dS .

∵ n 在曲面上连续 ，
∴由积分中值定理有 ndS ( n )
Stokes 公式可写成向量形式
C
A dS rot A dS 。

例 3.设一刚体绕过原点的轴L 转动 ( L 轴与 z 则在 内 若 P, Q, R 在域 内 有一阶连续偏导数， 轴重合 ) 其角速度为常向量 {1 , 2 , 3 } ，求 rotv 。 每一点向量场 A {P, Q, R} 均有一旋度与之对应，因而 解：由运动学知，刚体中任一点 M ( x, y, z )的运动速度 此结果表明， v 的旋度与角速度 成正比， rot A 也在域 内 构成一向量场，称为旋度场。 n
rot n A ，即 向量 n 的 环量面密度，记为
rotn A lim
1 l A ds .（1） M S
10.6.2 旋度
定义 设 M 为向量场 A 中的一点 。若存在一个向量，
其方向是 A 在点 M 处 ，环量面密度取最大值的方向，
其模恰好是环量面密度所取得的最大值，则称此向量
的表面所得的截线，若从 ox轴正向看去，取逆时针方向。
z
1
y
1
1 2
3 x y 2
O
1
y
x
1
1 1 x y 2 2
O
1
x
3 解:取 为平面 x y z 的上侧被 C 所围成的部分 ， 2
1 1 的单位法向量 n {1, 1, 1} ，即cos cos cos ， 3 3
A 在点 M 处 的旋度，记为 rot A 。 为向量场
10.6.3 斯托克斯(Stokes) 公式
闭曲线 C 。取定 设有 光滑曲面 ，其边界是空间 的一侧为正侧 ，规定 闭曲线 C 的正向按右手法则，
即若右手拇指的方向指向曲面法线的正向，则其余 闭曲线 C 四指所指的方向就是 的 n 正向。根据右手法则，由
单连通域 上具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：
（1） ( x, y , z ) , 有rot A 0在内恒成立 ；
闭曲线C ，有 （2） 对内任意光滑或逐段光滑
（3）
L Pdx Qdy Rdz 0 ；
L( AB)
Pdx Qdy Rdz在内与路径无关；
（4） Pdx Qdy Rdz 是某个函数 u ( x , y , z ) 的全微分 ，即
v 1 2 x y
3 {2 z 3 y, 3 x 1z, 1 y 2 x} z
三、旋度的运算法则 （1） rot(A B) rotA rotB ( ,为常数 ) ；
（2） rot(A) rotA grad A ( 为数量场) ； （3） rot( grad) 0. i j k 证（3） rot( grad) ： x y z u u u x y z
在xoy平面上的投影区域 xy为x 2 y 2 1 ， D 且取下侧，
由 Stokes 公式得
C ( z y)dx( x z)dy ( x y)dz
dy dz dz dx dx dy x y z z y x z x y

3 ∵ 在 上x y z ， 2
4 4 3 dS 2 3 3dxdy ∴ I ( x y z ) dS 3 3 2 D xy
6

Dxy
1 9 6 (1 2 ) . 8 2
二、环量面密度和旋度的计算公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy ( 2 ) y z z x x y
S
C
Pdx Qdy Rdz
其中曲面 的正侧与曲线 C 的正向按右手法则 。 （2）式 称为斯托克斯公式。
Stokes 公式可表为行列式的形式：
v 它也说明旋度反映了刚体旋转的强弱程度。 r ，其中 {x, y, z} ，
i j k
i j k rot v 2{1, 2 3} 2. x y z 2 z 3 y 3 x 1z 1 y 2 x
dy dz dz dx dx dy C Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
(3)
或
C
Pdx Qdy Rdz

cos cos cos dS x y z P Q R