单起见，假设采样是等间距的 T /(N 1) 1。/ 为采样频率，其最 小值为1/T。这样，频率也变成离散的，间隔为 2 / T 。
这样可把积分变成一个离散求和的形式：
离散傅立叶变换
fn
1 N
N 1
Fk exp(i2nk / N )
n0
FK
1 N
N 1 n0
fn exp(i2nk / N )
傅立叶变换简介
傅里叶变换的三种定义式
在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于 它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互 转换，特给出如下关系式：
1.第一种定义式
F1()
1 f (x)eixdx, 2π
f (x)
1 2π
F1
(
)ei
x
d
傅立叶变换简介
2.第二种定义式
作代换 y x x0 ,则
F[ f (x x0 )]
1
f ( y)ei ( y x0 )dy
2
eix0
1 f ( y)eiy dy
2
eix0 F ()
傅立叶变换简介
3.相似性（扩展）
F[
f
(ax)]
1
F
(
)
aa
证明：
F[ f (ax)] 1 f (ax)eixdx
2
2
[ 1 f (x)ei()xdx]
2 F ()
傅立叶变换简介
4.导数变换
F[ f (x)] iF()
证明：
F[ f (x)]
1 f (x)eixdx
2
1
2
[f
( x)eix ]
1 f (x)[eix ]dx
2
根据傅立叶积分定理，有 lim f (x) 0 x
F[ f (x)] 1 f (x)[eix ]dx
F2 ()
f (x)eixdx,
3.第三种定义式
f (x) 1
2π
F2
()eixd
F3()
f (t)ei2πxdx,
f (x)
F3
(
)ei
2
π
x
d
三者之间的关系为
F1()
1 2π
F2 ()
1
2π F3 ( 2π)
傅立叶变换简介
三种定义可统一用下述变换对形式描述
F() F [ f (x)]
1)
c2
f2
( x)]e ix dx
c1F1() c2F2 ()
F()
1
2
f1 ( x)e ix dx
F() F[ f (x)]
傅立叶变换简介
2.平移性（延迟）
F[ f (x x0 )] eix0 F ()
证明：
F[ f (x x0 )]
1
2
f
(x
x0 )eixdx
作代换 y ax ,则
F[ f (ax)] 1
f
i y
( y)e a
1
dy
2
a
1 1
i y
f ( y)e a dy
a 2
1 F( )
aa
傅立叶变换简介
4.复共轭
F[ f (x)] F()
证明：
F[ f (x)] 1 f (x)eixdx
2
1 [ f (x)eixdx]
2
iF ()
离散傅立叶变换
离散傅立叶变换
为了在计算机上实现傅立叶变换，需要对傅立叶变换进行离散 化处理。也就是把
F () f (t)ei2 tdt, f (t) F ()ei2 td
离散化。这种离散化和实际的物理过程相对应：我们的对信号的采 集总是在有限的时间内进行有限次的操作。考虑时变信号f(t)，对它 的测量在[0,t]时间内进行，也就是说在此区间内f(t)不为零。为简
理论问题：量子力学中波函数在坐标空间和动量空间 的表示就对应着一对傅立叶变换。
实验数据处理：
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如 在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分 析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换 的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一．积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中， 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
f
(x)
F
1[ F ()]
特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义，
所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如
1, 1 2π 2π
傅立叶变换简介
F1()
1 f (x)eixdx, 2π
f (x)
1 2π
F1
(
)ei
xd
F() F [ f (x)]
f
(x)
F
1[ F ()]
傅立叶变换简介
傅立叶变换的性质（假定f（x）的积分存在）
1. 线性
若F[ f1(x)] F1() , F[ f2(x)] F2()
则F[c1 f1(x) c2 f2(x)] c1F1() c2F2 () c1, c2为常数
证明：
F[c1 f1(x) c2 f2 (x)]
计算物理导论
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换简介 离散傅立叶变换 快速傅立叶变换 高维傅立叶变换
傅立叶变换简介
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期
信号都可用正弦函数级数 表示” 1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中
其中 fn f (t n ), Fk F( k) 。注意傅立叶系数的 数目和采样点的数目相等，都是N个。
快速傅立叶变换
快速傅立叶变换
快速傅立叶变换的基本思想是重新排列采样序列的 顺序并以分级方式进行求和。这种思想早在1886年就 由Gauss提出，但并未受到关注。直到1965年 Cooley和Tukey才正式提出这种算法并把其在计算 机上实现。
下面简单介绍这种算法的思想
快速傅立叶变换
把傅立叶变换中的奇数项和偶数项分开
N / 21
傅立叶变换简介
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要 论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
傅立叶变换简介
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这 个术语来自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函 数和非周期函数的一些基本性质. 傅立叶变换在物理学中 的很多问题中占有很重要的地位，这包括实验的数据处理 与理论问题的计算。