注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第四章概率论习题__偶数.doc2方案一：平均年薪为3万方案二：记年薪为X ，则( 1.2)0.2p X ==，( 4.2)0.8p X ==1.20.2 4.20.8 3.63EX =⨯+⨯=>故应采用方案二 4()1228p X ==，()1314p X ==，()3428p X ==，()157p X ==，()5628p X ==，()3714p X ==，()124p X ==，113153123456786281428728144EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

6不会8()()22002,2xxx xX f x f x y dy e dy e x--===⎰⎰，0x <<+∞ （1）()200122xX EX xf x dx xe dx ∞∞-===⎰⎰（2）()131312E X EX -=-=（3）()()20021,,4x x E X Y xyf x y dxdy xy e dydx x ∞∞∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰。

10()8,9XU ，()8,9YU()()99881,3E X Y x y f x y dxdy -=-=⎰⎰小时 即先到的人等待的平均时间为20分钟。

12,0,()0,0.t e t f t t λλ-⎧>=⎨≤⎩88818tte ET t e dt e dt λλλλλλ-∞---=+=⎰⎰。

14（1）1a =时，()2142150n C p C ξ==，()111142151n C C p C ξ== 1111421524153n C C E C ξ==≠2a ≥时，()21522150aC p C ξ-==，()111522151a a C C p C ξ-==，()222152a C p C ξ==11215222151521215a a a C C C aE C C ξ-=⨯+⨯= 由243E ξ=得，10a =。

（2）()4510599154C C p C ξ==，()5410599155C C p C ξ==，()6310599156C C p C ξ==， ()7210599157C C p C ξ==，()8110599158C C p C ξ==，()910599154C C p C ξ== 45546372819010510510510510510599999991515151515154567896C C C C C C C C C C C C E C C C C C C ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

16记Y 为进入购物中心的人数，X 为购买冷饮的人数，则()()()1m kk kX Y m m k p X k p Y m C p p ∞-====-∑()1!m m kk km m ke C p p m λλ-∞-==-∑()()1!!m m kk m ke p p m k k λλ-∞-==--∑()1!!k kmmm e p p k m λλλ-∞==-∑()()()10[1]!!kpm p m p e p e k m λλλλ-∞--=-=∑ ()!kpp e k λλ-=故购买冷饮的顾客人数服从参数为p λ的泊松分布，易知期望为p λ。

18 ()2222112151522221515154442601233363a a a a C C C C D C C C ξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20 ()0EX xf x dx ∞-∞==⎰，22122xDX EX x e dx ∞--∞===⎰112xE X x e dx ∞--∞==⎰()2221112xD XE X E Xx e dx ∞--∞=-=-=⎰ 22 ()()()()101012p X p X p Y p Y ======== （1）()()()()10,11,11,0p X Y p X Y p X Y p X Y +≥===+==+==()()()()()()011110p X p Y p X p Y p X p Y ===+==+== 34= （2）()()()()()()()()01101000101YE X p X p Y p X p Y ⋅-=⋅-==+⋅-==+()()()()()()01111011110p X p Y p X p Y ⋅-==+⋅-===()()()()()()2211[1]YY YD XE X E X ⋅-=⋅--⋅-()()21Y E X =⋅-=()()()()()()0122[01]00[01]01p X p Y p X p Y ⋅-==+⋅-==+ ()()()()()()0122[11]10[11]11p X p Y p X p Y ⋅-==+⋅-== 12=24()22,0,0,0.x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ ()44,0,0,0.y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩()21,0,0,0.x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ ()41,0,0,0.y Y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩ （1）{}min ,Z X Y =()()()()()()61,0,1110,0.z Z X Y e z F z p Z z F z F z z -⎧->⎡⎤=≤=---=⎨⎣⎦≤⎩故Z 服从参数为6λ=的指数分布，故16EZ =，136DZ =。

故()1Cv Z EZ ==。

（2）{}max ,Z X Y =()()()()()()2411,0,0,0.z zZ X Y e e z F z p Z z F z F z z --⎧-->⎪=≤==⎨≤⎪⎩()0712Z EZ zdF z ∞==⎰，()()22204933144144Z DZ EZ EZ z dF z ∞=-=-=⎰， 故()Cv Z ==。

（3)Z X Y =+，34EZ EX EY =+=，516DZ DX DY =+=， ()3Cv Z EZ ==26(1)()()1,2X f x f x y dy ∞-∞==⎰，1x <()0E X =，()122211123DX EX EX x dx -=-==⎰，同理()()1,2Y f y f x y dx ∞-∞==⎰，1y <()0E Y =，13DY =()()111111cov ,()()()149X Y E XY E X E Y xy xy dxdy --=-=⋅+=⎰⎰,cov ,13X Y X Y ρ==，故X 和Y 正相关。

又()()(,)X Y f x y f x f y ≠，故X 和Y 不独立。

（2）()()1122222222221111cov ,()()()()()()1049X YE X YE X E Y E X Y D X D Y x y xy dxdy --=-=-=⋅+-=⎰⎰故0ρ=，即X 和Y 不相关。

又()()2222,,,X Y F x y p X x Y y =≤≤(p X Y =≤≤≤(),f t v dtdv ==所以()22,,()()X Y f x y m x n y ===⋅，故2X 和2Y 相互独立。

28（1）不会写（2）()()()111111cov ,cov ,cov ,n n i j i j i i j j X X x X X X D X n n n n ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑（3）()0011cov ,cov ,n k k k k i j i j n S T X X +==+⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ ()0011cov ,n k k i j i j n X X +==+=∑∑()()()0000000111111cov ,cov ,cov ,n n kn kk kk i j i j iji j n i n j n i n j k X X X X X X ++==+=+=+=+=+=++∑∑∑∑∑∑001kii n DXk n =+==-∑，1kk i i DS DX k ===∑，001n k k j j n DT DX k +=+==∑，cov ,S k n kρ-==。

30 （1）()()()20,00005p X Y p Y X p X =======， ()()()10,11005p X Y p Y X p X =======，()()()11,00115p X Y p Y X p X =======，()()()11,11115p X Y p Y X p X =======，()305p X ==，()215p X ==，()305p Y ==，()215p Y ==，()()()0,000p X Y p X p Y ==≠==，故X 和Y 不独立。

（2）()cov ,()()()X Y E XY E X E Y =-()()()()00,00,11,0p X Y p X Y p X Y =⋅==+==+== ()()()111,11125p X Y p X p Y +⋅==-=== 故X 和Y 正相关。

32 （1）由0ρ=知，X 和Y 不相关，等价于X 和Y 相互独立。

()0,1XN ，()1,4Y NE aEX bEY b ξ=-=-，E aEY bEX a η=-=，22224D a DX b DY a b ξ=+=+，22224D a DY b DX a b η=+=+，ξ*=η*=ξ和η的标准化变量。

()()cov ,cov ,aX bY aY bX ξη=--()()()()()22cov ,cov ,cov ,a b X Y ab X X Y Y =+-+ ()5ab DX DY ab =-+=-cov ,ξηρ==（2)12ρ=时，()cov ,1X Y ==， E aEX bEY b ξ=-=-，()22222cov ,42D a DX b DY ab X Y a b ab ξ=+-=+-则()Cv bξ== （3）因E aEY bEX a η=-=，()22222cov ,42D a DY b DX ab X Y a b ab η=+-=+-()22,42N a a b ab η+-故定义知η的中位数为a ，众数为a 。

（4）()()()()()22cov(,)cov ,22a b X Y ab DX DY a b a b ξη=+-+=-++ 故2b a =-或2a b =-时，ξ和η不相关。

又正态分布的独立性与相关性相同，故2b a =-或2a b =-时，ξ和η独立且不相关，否则不独立且相关。