函数的单调性【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；3．学会运用单调性的定义求函数的最大（小）值。

【要点梳理】要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <； (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？3.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x ； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.4.函数单调性的判断方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。

(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。

(3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。

(4)记住几条常用的结论①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增（或减）函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增（或减)函数；③若()0f x >且()f x 1()f x 为减函数； 若()0f x >且()f x 为1()f x 为增函数. 5．复合函数单调性的判断讨论复合函数[]()y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性。

一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若(),()u g x y f u ==在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[]()y f g x =为增函数； （2）若(),()u g x y f u ==在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[]()y f g x =为减函数。

列表如下：复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增；单调性相异时递减。

因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：()y f u =，()u g x =；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间。

若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则[]()y f g x =为增函数；若为一增一减或一减一增，则[]()y f g x =为减函数。

要点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数()u g x =的值域，否则就无法确定()f u 的单调性。

（3）若()0f x >，且在定义域上()f x ()(0),()(1)n kf x k f x n n N +>>∈且都是增函数。

6．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值。

常用到下面的结论：（1）如果函数()y f x =在区间(],a b 上是增函数，在区间[),b c 上是减函数，则函数()(,)y f x x a c =∈ 在x b =处有最大值()f b 。

（2）如果函数()y f x =在区间(],a b 上是减函数，在区间[),b c 上是增函数，则函数()(,)y f x x a c =∈ 在x b =处有最小值()f b 。

若函数()y f x =在[],a b 上是严格单调函数，则函数()y f x =在[],a b 上一定有最大、最小值。

（3）若函数()y f x =在区间[],a b 上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a 。

（4）若函数()y f x =在区间[],a b 上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b 。

7．利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解。

（1）()a f x >在[],m n 上恒成立⇔()a f x >在[],m n 上的最大值。

（2）()a f x <在[],m n 上恒成立⇔()a f x <在[],m n 上的最小值。

实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题。

要点二、基本初等函数的单调性1．正比例函数(0)y kx k =≠当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数.2．一次函数(0)y kx b k =+≠当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.3．反比例函数(0)ky k x=≠ 当0k >时，函数ky x=的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间； 当0k <时，函数ky x=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间. 4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 若a>0，在区间(]2b a -∞-，，函数是减函数；在区间[)2ba -∞，+，函数是增函数； 若a<0，在区间(]2b a -∞-，，函数是增函数；在区间[)2ba-∞，+，函数是减函数． 【典型例题】类型一、函数的单调性的证明【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】例1.已知：函数1()f x x x=+（1）讨论()f x 的单调性.（2）试作出()f x 的图象.【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.【解析】（1）设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且x 1<x 2，则12121211f (x )f (x )x (x )x x -=+-+121211(x x )()x x =-+- 211212x x (x x )x x -=-+12121212121(x x )(1)x x x x 1(x x )()x x =---=-①当121x x <<-时，x 1-x 2<0，1<x 1x 21212x x 10x x -∴>，故121212x x (x x )()0x x -1-⋅<，即f(x 1)-f(x 2)<0∴x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)()1f (x)x x∴=+∞在区间-,-1上是增函数.②当-1<x 1<x 2<0 ∴x 1-x 2<0，0<x 1x 2<1∵0<x 1x 2<1 1212x x 10x x -∴<故121212x x (x x )()0x x -1-⋅>，即f(x 1)-f(x 2)>0 ∴x 1<x 2时有f(x 1)>f(x 2)()1f (x)x x∴=+在区间-1,0上是减函数.同理：函数()1f (x)x x =+在区间0,1是减函数, 函数()1f (x)x x=+∞在区间1,+是增函数. （2）函数1()f x x x=+的图象如下【总结升华】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？(作差)（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】 证明函数221()f x x x =+在[)1,+∞上是增函数. 【解析】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x 1，x 2是区间[)1,+∞上的任意实数，且x 1<x 2，则221212221211f (x )f (x )x x x x -=+-- 2212221211(x x )()x x =-+- 222221122212x x (x x )x x -=-+ 221222121(x x )(1)x x =--=222212122212x x 1(x x )x x --⋅=()()()()12121212221211x x x x x x x x x x +-+-⋅∵[)12121,,x x x x ∈+∞<、 ∴121212120,0,10,10x x x x x x x x +>-<+>->．12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <221()f x x x ∴=+在[)1,+∞上是增函数． 类型二、求函数的单调区间例2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x 2-3|x|+2； (2)2|1|(-2)y x x =-+【思路点拨】 对x 进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。

【答案】（1）f(x)在3--2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，上递减，在33[-,0][0,]22上递增，在上递减，在3+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上递增. （2）f(x)在(][)-12+∞∞，上递减，在，上递增. 【解析】(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在3--2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，上递减，在33[-,0][0,]22上递增，在上递减，在3+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上递增. (2)-2 3 (1)|1||-2| 1 (12)2-3 (2)x x y x x x x x +<⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪>⎩∴图象为∴f(x)在(][)-12+∞∞，上递减，在，上递增. 举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)121y x =-； (3)21y x= ；（4）y=|x 2-2x-3|. 【答案】（1）函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)；（2）11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在上为减函数；（3）2x1y =单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）．【解析】(1)⎩⎨⎧-<---≥+=)1x (1x )1x (1x y 画出函数图象，∴函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为u1y ,1x 2u ,2121,=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，设，其中u=2x-1为增函数，u 1y =在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞--=,21,21,1x 21y 在上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2x 1y =单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)； 【高清课堂：函数的单调性 356705 例3】（4）先画出y=x 2-2x-3，然后把x 轴下方的部分关于x 轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图所以y=|x 2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.■【总结升华】（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化⇒复合函数为增函数；内外层函数反向变化⇒复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例3. 已知函数()f x 是定义域为R 的单调增函数．（1）比较2(2)f a +与(2)f a 的大小；（2）若2()(6)f a f a >+，求实数a 的取值范围．【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成()()f x f y >的形式，再依据函数()f x 的单调性把f 符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。