第9章动态电路复频域的分析第1节拉普拉斯变换及其基本性质第2节用部分分式展开法求原函数第3节复频域形式的电路定律和电路模型第4节用复频域分析法求解电路的动态过程函数的拉普拉斯正变换。

能够利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换。

掌握利用拉普拉斯正、反变换求解线性动态电路的复频域分析法。

首页知识点拉普拉斯变换及性质拉普拉斯反变换s域的电路模型线性动态电路的复频域分析法拉氏变换的含义、求象函数由象函数求原函数用部分分式法求原函数将电路的时域模型转换为复频域模型线性动态电路的复频域解法首页第1节拉普拉斯变换及其基本性质一、拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换的性质1 线性性质2 微分性质3 积分性质首页问题的提出：用时域法分析计算动态电路响应需建立微分方程并确定初始条件，有两个难点:1.电路阶数增高，微分方程阶数增高，求解困难；2.对某些电路而言，初始条件的确定以及由初始条件确定积分常数并非容易。

解决的办法：拉普拉斯变换法是通过积分变换，把已知的时域函数变换为复频域函数，从而把时域微分方程变换为复频域函数代数方程。

求出复频域函数后再反变换回时域函数，就可得出满足电路初始条件的原微分方程的解。

一.拉普拉斯变换一个实函数f (t )在t > 0时有定义，则拉普拉斯变换式定义为式中s =σ+j ω为复变量，称为复频率。

F (s )称为f (t )的象函数，f (t )称为F (s )的原函数；拉普拉斯变换简称为拉式变换。

通常用符号表示为定义式的积分下限取为0-是为了考虑f (t ）中可能包含有出现在t =0瞬间时的冲激信号，如果f (t )中无冲激，则积分下限可写为零。

dt e t f s F st ⎰∞--=0)()([])()(t f L s F=子目录由象函数F (s )求相应的原函数f (t )，称为拉普拉斯逆（反）变换，定义为拉氏反变换通常用符号表示为ds e s F t f st j j ⎰∞+∞-=σσπ)(j 21)([]1()()f t L F S -=【例9-1】求下列原函数的象函数(1) 单位阶跃函数ε(t )；(2) 实常数K ；(3) 单位冲击函数δ(t )；(4) 指数函数;解对于以上几个原函数，直接用拉普拉斯变换式求取。

(1) ε(t )的象函数为at e 0001[(()())]st st st e F s t e dt st t e d s L εε-∞∞--∞---====-=⎰⎰dt e t f s F st ⎰∞--=0)()((3) 单位冲击函数δ(t )的象函数δ(t )函数定义δ(t )函数意义:t ≠0时,δ(t )=0。

当t =0时是一个面积为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。

δ(t )的象函数为0 ()0 0()1t t t t dt δδ∞-∞⎧>⎧=⎨⎪⎪<⎩⎨⎪=⎪⎩⎰00()()()st st F s dt f t e t e dtδ--∞∞--==⎰⎰0-根据冲击函数的取样性质有因此δ(t )的象函数为单位冲击函数δ(t )与阶单位跃函数ε(t )的关系为000()()()(0)(0)()(0)t f t dt t f dt f t dt f δδδ---∞∞∞===⎰⎰⎰0()()[()]1stF s t e dt L t δδ∞--===⎰()()d t t dtεδ=00()()()st st F s dt f t e t e dtδ--∞∞--==⎰⎰(4) 指函数的象函数at e ()00()0()1 ] [()1at sts a ts a tatF s e e d L e s t edtes aa ∞∞-------∞-=====---⎰⎰二.拉普拉斯变换的性质1、线性性质设f 1(t )和f 2(t )是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为F 1(s )和F 2(s )，A 1和A 2是两个任意实常数，则结论：若干个原函数的线性组合的象函数，等于各个原函数的象函数的线性组合。

[][][]112211221122A ()A ()A ()A () A ()A ()L f t f t L f t L f t F s F s ±=±=±子目录【例9-2】若下列函数定义域为[0-,∞] ，求象函数(1) ()sin (2) ()cos (3) ()(1e)tf t t f t t f t K αωω-===-解(1)根据欧拉公式及线性性质，可求出[]j j 221111sin ()2j 2j j j t t L t L e e s s s ωωωωωωω-⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥-+⎣⎦⎝⎭=+(2) 根据欧拉公式及线性性质，可求出[]j j 221111cos ()22j j t t L t L e e s s ss ωωωωωω-⎛⎫⎡⎤=+=+ ⎪⎢⎥-+⎣⎦⎝⎭=+(3) 由线性性质可求出[][][])()1(a s s Ka a s K s K KeL K L e K L atat+=+-=-=---2、微分性质设时间函数f (t )的象函数为F (s )，则其导数的象函数与F (s )之间满足结论：时间函数一阶导数的象函数是时间函数的象函数乘复频率s ，再减初始值。

[])0()()('--=f s sF t f L【例9-3】应用微分性质求下列函数的象函数。

解(1)由于而，根据故(1) ()cos (2) ()δ()f t t f t t ω==sin cos d tt dtωωω=[]22)sin(ωωω+=s t L []22221sin 1cos sin(0)d t s L t L s dt s s ωωωωωωω-⎡⎤⎡⎤==-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦[])0()()('--=f s sF t f L (2) 由于,而,故()()d t t dtεδ=[]1()L t sε=[]()1()(0)1d t L t L s dt s εδε-⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦3、积分性质设时间函数f (t )的象函数为F (s )，则对其积分的象函数与F (s )之间满足结论：一个时间函数积分的象函数等于该函数的象函数除复频率s 。

也就是在时域中的积分运算相当于复频域中的除法运算。

ss F d f L t)()(0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-ττ【例9-4】通过单位阶跃函数的积分求单位斜坡函数f (t )=t 的象函数.解因为对单位阶跃函数的积分即为单位斜坡函数其中阶跃函数的象函数为所以由拉普拉斯变换的定义和性质，可以推导出一些常用函数的象函数，参见表9—1。

0()()tf t t d εττ-==⎰[]1()L t sε=[]2011()ts L t L d s sεττ-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰概念求解线性电路的时域响应,是将求得的电路响应的象函数F (s )形式，通过拉氏反变换转换为原函数f (t )形式。

由于所求的象函数一般多是复杂的s 的有理分式，即是s 的两个多项式之比。

因此，很难直接通过查拉氏变换表将象函数转换为原函数。

为此，需要做一个分解工作，将复杂的象函数分解为简单的基本象函数之和，然后再从拉氏变换表中查出它们对应的时间函数，从而求出原函数。

将复杂象函数分解为简单象函数之和所采用的方法称为部分分式展开法。

第2节用部分分式展开法求原函数首页部分分式展开法：电路响应的象函数通常可以表示为两个s 的多项式，即关于s 的一个有理分式式中m ，n 为正整数，n >m ，为真分式。

用部分分式展开有理分式F (s )时，需要对分母多项式作因式分解，求出D (s )=0的根。

D (s )=0的根可以分为单根、共轭复根和重根的几种情况。

n n n m m m b s b s b a s a s a s D s N s F ΛΛ+++++==--110110)()()(1. 如果D (s )=0有n 个单根它们是P 1、P 2、P 3…、P n 。

于是F (s )可以展开为式中K 1、K 2…K n 是待定系数。

上式两边都乘以(s –P 1)，则令s =P 1代入，则等号右边除K 1项之外其余项为零，故得同理得出n n p s K p s K p s K s F -++-+-=Λ2211)(21112()()()n n K K s p F s K s p s p s p ⎛⎫-=+-++ ⎪--⎝⎭L []1)()(11p s s F p s K =-=[][]222()() ()() 1,2,3,,is p i i s p K s p F s K s p F s i n =-=-=-=g g g L求出各待定系数K 1、K 2…K n 后，根据象函数表达式查表可求出相应原函数为[]121121()()n i n p t p tp t p t n i i f t L F s K e K e K e K e-===++⋅⋅⋅=∑n n p s K p s K p s K s F -++-+-=Λ2211)(解D (s )=0的根为求出各待定系数为86)8)(6(48481448)(32123++++=+++=+++=s K s K s K s s s s s s s s s F 8,6,0321-=-==p p p [][][]10026638848()1(6)(8)48(6)() 3.5(8)48(8)() 2.5(6)s s s s s s s K sF s s s s K s F s s s s K s F s s s ===-=-=-=-+===+++=+==-++=+==+将K 1=1、K 2=-3.5、K 3=2.5代入F (s )式得查表可得[]tt e e s F L t f 8615.25.31)()(---+-==3121 3.5 2.5()6868K K K F s s s s s s s -=++=++++++2.如果D (s )=0具有共轭复根它们是，求待定系数的方法与单根时一样，即由于是一对共轭复根，则对应的待定系数K 1和K 2应为共轭复数。

将它们分别用极坐标形式表示为12j , j p p αωαω=-+=--[][]121122()()()()s p s p K s p F s K s p F s ===-=-1121 , j j K K e K K eθθ-==因此在F (s )的展开式中将包含如下两项查表可求出相应原函数为j j 11j j K e K e s s θθαωαω-++-++()2cos()t f t K e t αωθ-=+两根为待定系数为即122j3 , 2j3p p =-+=--12255()413(2j3)(2j3)(2j3)(2j3)K K s s F s s s s s s s ++===++++-+++-++j4512j32j3j4522j32j35(2j3)()0.5j0.50.522j35(2j3)()0.5j0.522j3s s s s s K s F s e s s K s F s e s -=-+=-+=--=--+=+-==-=+++=++==+=+-o o 其中α=2,ω=3,θ=–45°，查表可得出21()2cos()2cos(345)t t f t K e t e t αωθ--=+=-oj45j45120.520.52()(2j3)(2j3)(2j3)(2j3)K K e e F s s s s s -=+=++-+++-++o o3. 如果D (s )=0具有重根设D (s )中含有因式, P 1为D (s )=0的三重根，其余为单根，则可以按照上面的方法确定单根的待定系数K 2、K 3…。