第九节
同构、自同构
一、定义：我们说，一个A与 A 间的一一映 射 是一个对于代数运算和 来说的 A与 A 间的，同构映射（简称同构），假如在 a a ,b b 之下，不管a,b是A的那两个元只要， 就有 ab a b 假如在A与 A 间，对于代数运算 和 来说，存在一个同构映射，我们说，对于 代数运算 和 A与 A 同构，并用符号A A 来表示。
定理2: 集合A的元间的一个等价关系决定A 的一个分类. 证明: 我们利用给定的等价关系来做一个A 的一个非内,把所有同A的一个固定元a等价 的元放在一起做成一个子集,这个子集,这个 子集用[a]来表示,我们说这样的道德子集就 做成A的一个分类,我们分三步来证明.
(1) a b [a]=[b] 假定 a b ,那么由等价关系的性质以及[a] 和[b]定义 c [a] c a c b c [b]这就是说[a] [b] c [b] c b c a c [a]这就是说 [a] [b] 故 [a] [b]. (2) A的每一个元a只能属于一个类 , 得定义, 假定a [b],a [c]那么由[c][b] a b,a c 这样由1,2,得 b c ,于是由1[c] [b] , (3)A的每一个元啊a的却属于某一个类.
定义4: 假定我们有一个集合的一个分类,那 么一个类里的任何元叫做这个类代表刚好有 每一个类俄一个代表做成的集合叫做全体代 表团.
例3: A={…-2,-1,0,1,2,…} 我们取一个固定的整数 n>0,利用这个n 我们规定A的元间的一个等价关系R,aRb 当 且仅当 n | a b ,这个等价关系叫做模n的同 余关系并用a b(n)来表示. [0]={kn| k Z } [1]={kn+1| k Z } … … … [n-1]={kn+(n-1)| k Z }
例1：A={1，2，3}，B={4，5，6} 4 5 6 1 2 3 1 3 3 3 4 6 6 6 2 3 3 3 5 6 6 6 3 3 3 3 6 6 6 6
:1 4,2 5,3 6
ab 3 6 a b
二: 同构的内涵 A={1，2，3}，B={4，5，6} 假定对于代数运算来说A与 A 同构,那 么对于代数运算来说A与A 没有什么本质性 的区别,只有命名上的不同,若一个集合有一 个只于这个集合的代数运算有关的性质,那 么另一个集合有一个完全类似的性质.
第十节

等价关系与集合的分类
一: 定义1 ：一个A A 到D的映射R叫做A 元间的一个关系. 若R(a,b)=对,我们说a和b符合关系R或aRb 若R(a,b)=错, 我们说a和b不符合关系R 例1: A={所有实数} (a, b ) 对 ,若是b-a是正的 (a, b ) 错 ,若是b-a不是正的是A的元间的 一个关系,这也就是我们普通“<”.
三: 自同构
定义2 : 对于代数运算 和 和来说的一个A 与A间的同构映射叫做一个对于代数运算 来说的A的自同构.

例2: A={1，2，3} 1 2 3 1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 :1 2,2 1,3 3 ,对于 来说A的自同构.
定义2 ：集合A的元间的一个关系叫做一个 等价关系：假如满足以下规律 1: 反射律 a a,不管a是A的那一个元 2: 对称律 a b b a 3: 推移律 a b,b c a c
例2: “等于”这个关系就是一个等价关系.
定义3: 若把一个集合A分成若干个叫做类的 子集,使得A的每一个属于而且只属于一个 分类,那么这些类的全体叫做集合的一个分 类。
定理1: 集合A的一个分类决定 A元间的一个 等价关系. 证明: 我们利用给的一个分类来做一个等价 关系,我们规定: a a,当且仅当a,b同在一类的时候. 这样A的元间的一个关系,我们证明它是一个 等价关系 1: a与a同类,所以 a a 2: 若是a,b在同一类,那么b,a也在同一类, 所以 a b b a 3: 若是a,b在同一类,b,c在同一类,那么a,c 在同一类所以 a b,b c a c