A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
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正四面体与正方体例话
二、正四面体与正方体
从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们 看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方 体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看 作是由正方体演变而来.
我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考：
D
C
（1）正方体如何演变出正四面体？
B
（2）正方体如何演变出正八面体？ A
（3）正方体如何演变出斜三棱锥？
D1
C1
A1
B1 7
考 题 1 （正四面体化作正方体解） (2009年)
一个四面体的所有棱长都是 2 ,
四个顶点在同一球面上,那么此球 表面积是（ ）
十年的立几高考，考的都是多面体. 其中：
（1）直接考正方体的题目占了三分之一；
（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.
因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕
着正方体出题.
2
考题 1 （正方体的侧面展开图）
（2001年）右图是正方体的平面展开图．在这个正方 体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③ CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.
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正四面体与正方体例话
解正四面体
统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题 目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了.
其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体 本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正 方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清 楚了. 在十年的高考“正四面体”中，凡是就“儿子解儿子”的 解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！
正四面体与正方体例话
序曲
十年高考多面体 出题偏爱正方体 拿着正方变魔方 演出多少好题和妙题
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正四面体与正方体例话
一、正方体高考十年
十年来，立体几何的考题一般呈“一大一小”的形式. 分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.
立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广 大考生“上线竞争”时,势在必夺的“成败线”或“生 死线”.
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（2006年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一 个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正 四面体的截面)的面积是
A. 2
2
B. 3
2
C. 2
D. 3
妙解 （找老子解儿子）
P
.P
答案为C
. D P B
2
A1
2
C1
C1
A1
2
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拙解 （就儿子解儿子）
如图所示：即求三角形PCD的面积. 因为CD=2，四面体A-BCD是正三棱锥， 则PD=PC，三角形PCD是等腰三角形. 过 P作CD的中线交CD于Q，则球心在PQ上. 连BQ，AQ，则AQ=BQ,因为O在PQ上， 则PQ是线段AB的中垂线.即Q是AB的中点.
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练习（山东卷 ）
如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2， ∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与 △BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于 点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为（ ） A. B. C. D.
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解析： 以此正四面体来构造正方体， 则正方体的棱长为 ， 正方体外接球的直径的长为 , 外接球的半径为 。
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正四面体与正方体例话
小结 正方体是多面的“题根”
（1）由正方体变出正四面体； （2）由正方体变出正八面体；
D A
（3）由正方体变出正棱柱、直棱柱；
（4）由正方体变出正三棱锥、直三棱锥；
D1
（5）由正方体变出斜三棱锥：
A1
D—A1B1C1
C B
C1 B1
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正四面体与正方体例话
尾声
题生根 根生题 题根、根题不分离 有根无题一光杆 有题无根一潭泥
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考题 3 （正方体与正八面体）
（2003年） 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中 心，以这些线段为棱的八面体的体积为
解析
将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱
锥的底面积为正方形面积的 1 ，再乘 1 得 1 .
答案选C.
2
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5
练习（ 07四川卷）
4．如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错 误的是
A. 3π
B. 4π
C. 5π
D. 6π
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拙解 —— 硬碰正四面体
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联想 —— 、 、 的关系
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妙解 —— 从正方体中变出正四面体
以 2长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为 3 ，则其外接
球的半径为 3 ，则其外接球的表面积为S=4πR2= =4π( 3)2＝32π
2
以 2 为棱长的正四面体B-A1C1D与以1为棱长的正方体
有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3π. 答案为A.
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寻根 ——正方体割出三棱锥
在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余 下”4个正三棱锥. 每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体 的体积为1/3 . 这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”. 事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有 58个. 至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.
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以上四个命题中，正确命题的序号是
（A）①②③
（B）②④
考查空间想象能力. 如果能从展开图（右上）想 到立体图（右），则能立即判定命题①、②为假，
而命题③、④为真，答案是C.
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考题2 （正方体中主要线段的关系）
（2002年） 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是
解析
射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知 其正确答案为A. 平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故选（A）.