衡水重点中学状元笔记——数学典型易错题（一）集合一、混淆集合中元素的形成 例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 。

错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴【易错分析】 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集。

{}(11)AB =-，∴二、忽视空集的特殊性 例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 。

错解： 由(1)10m x -+= 得11x m =-由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵111m =--∴或3 2m =∴或23m = 【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =。

m ∴的值为2123， ， 。

三、忽视集合中的元素的互异性这一特征例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37AB =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a = 【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37AB =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1。

四、没有弄清全集的含义 例4 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值。

错解： ∵{}5S C A =5S ∈∴且5A∉2235a a +-=∴2280a a +-=∴2a =∴或4a =-【易错分析】没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验． （1）当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．（2）当4a =-时，219a S-=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴（二）函数（一）函数的图像和对称性1.（1）若f （x ）满足f （x ）－f （2－x ）＝0，则y ＝f （x ）图像的特征是关于直线x=1对称_；（2）若f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，则y＝f（x）图像的特征是关于点（1，0）中心对称；（3）若f（x）满足f（x）－f（x－2）＝0，则y＝f（x）图像的特征是以2为周期；（4）若f（x）满足f（x）＋f（x－2）＝0，则y＝f（x）图像的特征是以4为周期。

2.（1）R上的函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）图像的对称轴为直线；x=a+b2对称。

（2）R上的函数y＝f（x＋a）与y＝f（b－x）的图像关于直线x=b−a2（二）单调区间注意定义域1.函数y=√5−4x−x2的单调增区间是_________。

解：y=√5−4x−x2的定义域是[−5,1]，又g(x)=5−4x−x2在区间[−5,−2]上增函数，在区间[−2,1]是减函数，所以y=√5−4x−x2的增区间是[−5,−2]。

（三）恒成立问题1.（1）若x2+2x+a>0在R上恒成立，则实数a满足的条件是________________；解：Δ=4−4a<0⇒a>1，∴a∈(1,+∞)（2）若9x+2⋅3x+a>0在R上恒成立，则实数a满足的条件是________________。

解：令t=3x>0，则f(t)=t2+2t+a>0⇒f(0)=a≥0,∴a∈0,+∞)（四）函数的定义域、值域和单调性的逆用1.已知函数f(x)=lg1+2x+4x⋅a, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的a−a+1取值范围。

【易错分析】：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”。

解：1+2x +4x ⋅a a 2−a+1>0, 且a 2－a +1=(a －12)2+34>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >−(14x +12x ),当x ∈(－∞, 1]时, y =14x 与y =12x 都是减函数， ∴ y =−(14x+12x)在(－∞, 1]上是增函数，−(14x+12x) max =－34,∴ a >－34, 故a 的取值范围是(－34, +∞)（五）分类讨论思想 1.若(a +1)−13<(3−2a)−13，试求a 的取值范围.解：∵幂函数y =x −13有两个单调区间，∴根据a +1和3−2a 的正、负情况，有以下关系{a +1>03−2a >0a +1>3−2a ① {a +1<03−2a <0a +1>3−2a ② {a +1<03−2a >0③解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32） 【易错分析】幂函数y =x −13有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为a +1>3−2a ，从而导致解题错误。

（六）根的分布问题1．试确定方程2x 3−x 2−4x +2=0最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数。

解：令f(x)＝2x3−x2−4x+2∵f(−3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 f(−2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0f(−1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，f(0)＝0－0－0＋2＝2＞0f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0，f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0根据f(−2)·f(−1)＜0，f(0)·f(1)＜0，f(1)·f(2)＜0可知f(x)的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内。

因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内。

【易错分析】只要构造函数f(x)＝2x3−x2−4x+2，计算f(x)的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布。

三、三角函数（一）选择题：1．（如中）为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A 向右平移π6B 向右平移π3C 向左平移π6D向左平移π3【易错分析】审题不仔细，把目标函数搞错是此题最容易犯的错误。

答案: B2．（如中）函数y=sin x(1+tan x⋅tan x2)的最小正周期为( )A πB 2πC π2D3π2【易错分析】将函数解析式化为y=tan x后得到周期T=π,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案: B（二）填空题：1．（如中）已知方程x 2+4ax +3a +1=0（a 为大于1的常数）的两根为tan α，tan β，且α、∈β(−π2,π2)，则tan α+β2的值是_________________。

【易错分析】忽略了隐含限制tan α,tan β是方程x 2+4ax +3a +1=0的两个负根，从而导致错误。

正确解法：∵a >1 ∴tan α+tan β=−4a <0，tan α⋅tan β=3a +1>o ∴tan α,tan β是方程x 2+4ax +3a +1=0的两个负根 又α,β∈(−π2,π2) ∴α,β∈(−π2,0) 即α+β2∈(−π2,0)由tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=−4a1−(3a+1)=43可得tanα+β2=−2.答案: -22．已知5cos 2α+4cos 2β=4cos α,则cos 2α+cos 2β的取值范围是_______________。

【易错分析】由5cos 2α+4cos 2β=4cos α得cos 2β=cos α−54cos 2α代入cos 2α+cos 2β中,化为关于cos α的二次函数在[−1,1]上的范围，而忽视了cos α的隐含限制，导致错误。

答案: [0,1625]略解: 由5cos 2α+4cos 2β=4cos α得cos 2β=cos α−54cos 2α (1) ∵cos 2β∈[0,1] ∴cos α∈[0,45]将（1）代入cos 2α+cos 2β得cos 2α+cos 2β=−14(cos α−2)2+1∈[0,1625]。

（三）解答题：1．求函数y x x =+-sin cos 4434的相位和初相。

解：y x x x x =+--(sin cos )sin cos 22222234=-+=-⋅-+==+12214121421414414422sin cos cos sin()x x x x π∴原函数的相位为42x +π，初相为π2【易错分析】部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。

应将所给函数式变形为y A x A =+>>sin()()ωϕω00，的形式（注意必须是正弦）。

2． 若sin cos αβ=12，求sin cos βα的取值范围。

解：令αβα=sin cos ，则有∴+=+-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴-≤+≤-≤-≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴-≤≤121211121112121212a a a a a sin()sin()().()αβαβ【易错分析】此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出-≤≤3212a 或-≤≤1232a 。

原因是忽视了正弦函数的有界性。

另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。

这两点应引起我们的重视。

四、平面向量易错点1．遗漏零向量【例1】 已知a ⃗=(3,2−m)与b ⃗⃗=(m,−m)平行，则m 值的个数是________。

【错解】由//得−m m=2−m 3，即m 2−5m =0，解之得m 1=5，m 2=0（舍），∴m 的值只有一个。