如7.H果'I'用/ 4“、舟 k"0gI-I白(1(糖 4' (1制4 '-出'-4 h"k0ut/(糖-L 溶I 液I~，”切则-其~浓'度-为' b誉- -．'---若’在一 -'上--~述~溶“- .液....中...再 ..S添.-.加- -m- kg 白糖，
此时溶液的浓度增加到
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十．~，?~z、)~，tI&结_-1 A合I1户图=Jt n形~-t ：易~幼~知一~kr~ADz、'>~k，n乃刀丑‘～，．所声~．以z、a州 泊十十”“2乞,'2．＞ 产、 吞“共'
类比上述方法，构造图 3，可以给出“糖水不等式”的变形⑦式的“无字证明”．
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B(c,d) 一z A(a,b)
m
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若 a, ,b, 任 R「(i = 1,2,",n)，且会＜瓮＜ ＜安，则
a1<a1 车 ab2 丰丰ba,,<a,

若 a, ,b 任 R+ (z = 1,2,",n)，且箭＜瓮＜ ＜瓮，则
UI<a1丰 a2< <a1丰 ab2 丰丰 a,<a2 丰 丰： :< <a,1车 ba,..<ab.,. 我们给出“糖水不等式”的变形②式的两种几何证明． 证法 1 如图 1，设 A(a,b) ,B(m,m) ，因为。>b，所以点 B 在直线 OA 的上方．
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当“＜占时由③式且夸＞ ab+m 所「（(\a-b\)>>(b+aHm -m)\'「 , Lei>e2
…
所以，当“ >b 时，e1 ＜二 e2 ；当 a<b 时，e1 > e2．故选 D.
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飞～编 题揭秘 ‘
由“糖水”不等式提炼的几个结论及应用
由“糖水不等式”可得，
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此即题 1.
题 1 (1985 年高考上海卷理科第 8 题）证明：
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注 设直线 1, :3/ = 气 (I十 1) ，联立 .12 - 2nx 十 y2 = 0 得，
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根据题设和离心率的定义可知，
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“糖水不等式”还可作如下变形和推广：
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＜占，则占 +m
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若 a,占 'in 任 R+ ，且“ <b,a>m，则ba 二 m
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m<ab
a
十十，”？2乞．”将’~ 这'个'事~实~ 抽~ 象为'~数～学一 问题一，一并给～出～证一明一．一 显一 然，一口’，占，7,，都
是正数，并且“＜占，生活经验告诉我们，在已有的糖溶液中加糖，糖的质量分数增大，糖水
变甜了．
这个事实抽象为如下不等式问题：
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m
匆．，目一 SML ai. 曰 一 r (1(11" 都是正数’并且“＜占’则b
十刀t 、、 “ 牛 m> b
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上面的不等式①，俗称“糖水不等式”．“糖水不等式”其实就是真分数的一个性质，在
不同版本的教材中，都有不同的呈现形式． 背景马 普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 必修 4)（) 湖南教育出版社 2005 年 8
月第 1版）第 79 页例 1: 」．曰‘劝 、～，、 r, ~,.:，去守。 b ．一 b 十 2 占声，J一 J、 JAI1禾“ J夕 0 曰 “牙加口，1:14 书（a一＝a 刁 --一i下-一b万 IPJ,A'J、.
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第 9 课 “糖水”溶液 抽象提炼
口 课堂笔记
飞典型考题‘
(2015 年高考湖北卷理科第 8 题，文科第 9 题）将离心率为 e1 的双曲线 Cl 的实半轴长“和 虚半轴长 b(a 笋 b）同时增加 m(m>0）个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ，则
() A．对任意的 a,b,e1 > e2 B．当 a>b 时，e1>e2 ；当。＜ b 时，e1 ＜二 e2 C．对任意的 a,b,e1 <e2 D．当“ >b 时，亡1<e2 ；当“ <b 时，e1 ＞灼
-H- ，占，刀2，刀任 R+ ，且 a ＜占，刀＜ m，则ba丰1n2<ab 丰 m
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若“，占,m,刀任 R+ ，且“ >b,刀＜ m，则ba幸 n>ab 丰 m
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>2.4.66.....(.2.(n2志n1)) ・ 34.56 .....(2n+21)
>3.5 ..6..
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2 3) 4 5) , 2n 2n+1
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背景 1 普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 选修 4 一 5.A 版》（人民教育出版社
2007 年 1月第 2 版）第 21 页例 2:
课堂笔记
图3
图4
图 4 是如下不等式（⑧式的特例）的“无字证明”:
设叭““，’占以,～c~ ,d／>0、2，'b上0 ＜一\d舟c~ ，则J玄．.有J'J一：占"一~ ＜z“占~十十;~‘d,＜、 z二d分' ．'
限于篇幅，其他不等式的证明略去．请读者自证．
曰考题解答 ‘
农 依题意 e1 一 a+ b2 一丫拜要了, e 一了（"+ma)2++m(b+m)2 一 \j/1+ aH-mm)2
(a)
., 产题一课高考数学命题探松（ ：版）
、 课堂笔记
(a）式还可作如下等价变换：
1 万乙不 。L下I ’=：一 ”” ’ 八
.'乙九「一土少 ＜、
（ 2n 十 1)=%/ 不王不丁，
丫2n 十 1
于是色 ’ 是 ’ 二” (2n 大 12 ＜丫孤不丁， 乙 ’ 任 ’ 0 "" ’ 、乙刀少
题 2 (2009 年高考广东卷理科第 21 题）已知曲线 C, :x2 - 2nx 十 y2 = 0(n = 1,2, …）．从点 P（一 1,0）向曲线 C”引斜率为 k,(k, >0）的切线 1, ，切点为 P,(x, ,y,).
（工）求数列仕。｝与｛夕”｝的通项公式；
（且）证明 ：.1 ・ .13 ・ .15 ・