习题77-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。

解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I IB R Rμθμπ==，方向：；直导线在O点的磁感应强度：000020[sin 60sin(60)]4cos602II B R Rμππ=--=，方向：⊗；∴总场强：01)23IB Rμπ=-，方向⊗。

7-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。

（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。

解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2032222()I R B R z μ=+。

（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：20132222[()]2P I R B a R x μ=++，右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：20232222[()]2P I R B aR x μ=+-，1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向右，∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=2330222222[()][()]222I R a a R x R x μ--⎧⎫++++-⎨⎬⎩⎭；（2）因为P B 随x 变化，变化率为d Bd x，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。

对B 求一阶导数：d B d x 25502222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--⎧⎫=-++++-+-⎨⎬⎩⎭当0x =时，0d Bd x=，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。

对B 求二阶导数：22()d d B d B d x d x d x== 222057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ⎧⎫+-⎪⎪⎪⎪--+-⎨⎬⎪⎪+++++-+-⎪⎪⎩⎭当0x =时，202x d Bd x ==222072223[()]2a R I R a R μ-+， 可见，当a R >时，2020x d Bd x=>，O 点的磁感应强度B 有极小值， 当a R <时，2020x d Bd x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值，当a R =时，2020x d Bd x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。

【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N 匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】7-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。

解：∵a 段对O 点的磁感应强度可用0SB d l I μ⋅=∑⎰求得，有：04a I B R μπ=，∴04a IB j Rμπ=-b 段的延长线过O 点，0b B =，c 段产生的磁感应强度为：0044c I I B R R μμππ=⋅=，∴04c IB k R μ=则：O 点的总场强：0044O I IB j k R Rμμπ=-+，方向如图。

7-4．在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流A 5=I 自下而上通过，如图所示。

试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强度的大小。

解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl R d θ=的长直电流， 有：dl d d I R θππ==，利用0S B d l I μ⋅=∑⎰。

在P 点处的磁感应强度为：00222d I I d dB R Rμμθππ==， ∴02sin sin 2x IdB dB d Rμθθθπ==，而因为对称性，0y B = 那么，005220sin 6.37102x x I IB B dB d T R Rπμμθθππ-=====⨯⎰⎰。

7-5．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。

求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞<<r 0）。

解：利用安培环路定理0SB d l I μ⋅=∑⎰分段讨论。

（1）当10r R <≤时，有：210212r I B r R ππμπ⋅= ∴01212I rB R μπ=；（2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ⋅=，∴022IB r μπ=； （3）当23R r R ≤≤时，有：2223022322()r R B r I I R R πππμππ-⋅=--， ∴2232032232I B R r R rR μπ--=⋅； （4）当3r R >时，有：402()B r I I πμ⋅=-，∴40B =。

则：021011222323223230(0)()()0()222r R R r R B R r R r R I rR IrR r r I R R μπμπμπ⎧<≤⎪⎪⎪≤≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⋅≤≤-⎪⎪>⎪⎩7-6．一边长为l =0.15m 的立方体如图放置在均匀磁场(63 1.5)T =++B i j k 中，计算（1）通过立方体上阴影面积的磁通量；（2）通过立方体六面的总磁通量。

解：（1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为Wb135.015.066)5.136(21=⨯=⨯=⋅++=⋅=Φ⎰⎰⎰SSSm dS i dS k j i S d B（2）由于立方体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理，上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为0。

7-7．一根很长的直导线，载有电流10A ，有一边长为1m 的正方形平面与直导线共面，相距为1m ，如图所示，试计算通过正方形平面的磁感应通量。

解：将正方形平面分割成平行于直导线的窄条，对距离直导线为x 宽度为dx 的窄条，通过的磁通量为dx xIdx x I Bldx d m πμπμ21200=⨯⨯==Φ 通过整个正方形平面的磁通量为Wb 104122260210-⨯===Φ⎰.ln Idx x I m πμπμ7-8．如图所示，在长直导线旁有一矩形线圈，导线中通有电流120A =I ，线圈中通有电流210A =I ，已知d =1cm,b =9cm,l =20cm ，求矩形线圈上所受到的合力是多少？解：矩形线圈上下两边所受的磁力相互抵消。

矩形线圈左边所受的磁力为 N 10824102121-⨯===dI lI lB I F πμ 方向向左 矩形线圈右边所受的磁力为 N 108)(25102222-⨯=+==b d I lI lB I F πμ方向向右 矩形线圈上所受到的合力为 N 102.7421-⨯=-=F F F 方向向左7-9．无限长直线电流1I 与直线电流2I 共面，几何位置如图所示， 试求直线电流2I 受到电流1I 磁场的作用力。

解：在直线电流2I 上任意取一个小电流元dl I 2， 此电流元到长直线的距离为x ，无限长直线电流1I 在小电流元处产生的磁感应强度为：012I B xμπ=⊗，再利用d F I Bdl =，考虑到0cos60d xdl =，有：01202cos60I I d x d F x μπ=⋅， ∴0120120ln 2cos60b a I I I I d xb F x aμμππ=⋅=⎰。

7-10．一半径为R 的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I 等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。

解：设半圆柱面导体的线电流分布为1I i Rπ=， 如图，由安培环路定理，i 电流在O 点处产生的磁感应强度为：02i d B Rd Rμθπ=⋅，可求得：00120sin 2O y iR I B d B d R Rπμμθθππ==⋅=⎰⎰； 又∵d F I dl B =⨯，故01222O I I d F B I dl dl Rμπ==， 有：0122I I d F f dl Rμπ==，而21I I =，所以：202πμ==Id F f dl R。

7-11．有一根U 形导线，质量为m ，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为B 的均匀 磁场中，如图所示。

当接通电源时，U 导线就会从水银槽中 跳起来。

假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电荷量q 。

解：接通电流时有F BIl =⇒d v mBIl dt =，而d q I dt =， 则：mdv Bl dq =，积分有：0v m mvq dv Bl Bl==⎰； 又由机械能守恒：mgh mv =221，有：gh v 2=，∴mv q Bl ==7-12．截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴O O '转动，如图14-53所示。

导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度θ而平衡，求磁感应强度。

解：设正方形的边长为a ，质量为m ，aS m ρ=。

平衡时重力矩等于磁力矩：由m M p B =⨯，磁力矩的大小：22sin (90)cos M BI a BI a θθ=-=； 重力矩为：sin 2sin 2sin 2aM mga mg mga θθθ=+⋅=平衡时：2cos 2sin BI a mga θθ=，∴22tan tan mg gSB I a Iρθθ==。

7-13．在电子显像管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显像管的取向使电子水平地由南向北运动。

该处地球磁场的竖直分量向下，大小为55.510T -⨯。

问： （1）电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？ （2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显像管内在南北方向上通过20cm 时将偏离多远？ 解：（1）根据f q v B =⨯可判断出电子束将偏向东。

（2）利用221mv E =，有：m E v 2=， 而ma qvB f ==，∴1141028.62-⋅⨯===s m m EmqB m qvB a（3）2211()3mm 22Ly at a v===。

7-14．如图所示，一个带有电荷q (0q >)的粒子，以速度v 平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为λ（0λ>），并载有传导电流I 。