F x=∑F ix F y=∑F iy
9
? ? 合力的大小： F ?
Fix2 ? Fiy2
方向：
? ? ? arctg Fiy ? Fix
作用点： 该力系的汇交点
10
例1：求图示平面汇交力系的合力。
F 1=200kN ， F 2=300kN ， F 3=100kN ， F 4=250kN F 2 30° y F1
26
平面任意力系的平衡方程
?? x? 0
? ?
?
y? 0
??? M ? 0
一矩式
? ? x? 0 ??? M A ? 0 ??? M B ? 0
二矩式
?? ???
MA ? 0 MB ? 0
??? MC ? 0
三矩式
求解时，尽量使方程中的未知量只有一个
27
4. 应用实例
例：求下列结构的支座反力。
(1)简支梁 A
Fy ? 0
? y?0
投影轴常选择与未知力垂直，
使每个平衡方程中只有一个未知数。
13
例2：图示平衡力系。 F 1=4kN ， F 3=2kN ，求F 2和F 4。
F4
y
45°
O
F1
30°
F3
F2
x
? 分析：
x ? 0 两个未知数
? y ? 0 一个未知数 先求
14
解：
F4
y
45°
O
F1
30°
F3
O
30°
解：
F 3 45°
45° x F4
Fx ? F1 cos30?? F2 sin 30?? F3 sin 45?? F4 cos 45?
? 129.3kN
11
F 2 30° F1
O
30°
45° x F 3 45°
F4
Fy ? F1 sin 30?? F2 cos 30?? F3 cos 45?? F4 sin 45?
R?? F ?0
6
2. 数值解 （1）力在坐标轴上的投影与力的解析表达式
F x= F cosa F y= F sin a
F ? Fx2 ? Fy2
? ? arctg Fy
Fx
7
力的分解是不唯一的：
y
Fy
F
y Fy
Fx
x
F Fx x
8
（2）平面汇交力系合成的解析法
合矢量投影定理： 合矢量在某一轴上的投影， 等于各分矢量在同一 轴上 投影的代数和。
? 112.3kN
R ? FX 2 ? FY2 ? 171.3kN
? ? arctg Fy ? arctg 112.3 ? 40.990
Fx
129.3
12
(3) 平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是
该力系的 合力为零，即 R=0
R?
Fx2 ?
F
2 y
?
0
Fx ? 0
? x? 0
F2
x
? y ? 0 ? F1 sin 300 ? F4 cos 450 ? 0 ? F4 ? ?2.83kN
? x ? 0 ? F1 cos 300 ? F4 sin 450 ? F2 ? F3 ? 0
? F2 ? 4 cos 300 ? 2.83sin 450 ? 2 ? 3.46kN
15
3.2 任意力系
17
eP
P Pe
18
2．平面任意力系向作用面内一点简化
力的平移
M2 M1
M3
19
M2 M1
M3
力的合成
20
一般力系（任意力系）
Hale Waihona Puke 向一点简化汇交力系 + 力偶系
Ro(主矢 ) 作用在简化中心
移动效应
MO (主矩 ) 作用在该平面上
转动效应
21
讨论：
（1）RO=0， MO=0，则力系平衡。 （2）RO=0，MO≠0，简化结果为一合力偶， M=MO。 主矩与简化中心 O无关。
10kN B
1m
1m
28
解：
A
HA
10kN B
1m
1m
VA
VB
? x? 0 ? HA ? 0
? MA ? 0 ? 2VB ? 10 ? 1 ? 0 ? VB ? 5kN
? y ? 0 ? VA ? VB ? 10 ? 0 ? VA ? 5kN
29
扩展： HA
A
10kN 300 B
1m
1m
VA
VB
? 力的平移定理 ? 平面任意力系向作用面内一点简化 ? 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
16
1．力的平移定理：
作用在刚体上点A的力F 平行移到任一点B，但必 须同时附加一个力偶。这个附加力偶的矩等于原来的 力F 对新作用点B的矩。
F
F
A B F
F
A B M
力F 等效力F +力偶m = F ? d
第三章 平面力系的合成与分解
学习要求： ? 了解平面力系的定义及其分类； ? 掌握平面力系平衡方程的求解； ? 理解力线平移原理，平面力系的简化。
1
第三章 平面力系的合成与分解
主要内容： 3.1 汇交力系 3.2 任意力系 (特例:平行力系 )
2
1. 图解法
3.1 汇交力系
图解法、数值解
(1)两个汇交力的合成
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平面任意力系的平衡方程
?? x? 0
? ?
?
y? 0
??? M ? 0
一矩式
A
B
HA
a
VA
VB
? ? x? 0
? ?
?
y? 0
HA VA VB
??
?
MA ? 0
VB
24
平面任意力系的平衡方程
? ? x? 0 ??? M A ? 0
HA
??? MB ? 0
A a
VA
二矩式 AB连线不垂直 x轴
（3）RO≠0，MO=0，简化结果为一个作用于简化
中心的合力。与简化中心有关。简化中心变化， 主矩不为零。
22
3. 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零。
? ? Ro ? ( X)2 ? ( Y)2 ? 0 ? MO ? MO (Fi ) ? 0
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
3
(2) 任意个汇交力的合成
F1 F2
A F3
F4
平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各力的汇交点。
4
F2
F3
R1
F1 R2 F 4
R
F2
F3
F1 F4
R
力多边形
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（3）平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是： 力多边形自行封闭 力系中各力的矢量和等于零
? x ? 0 ? H A ? 10 cos 300 ? 0 ? H A ? 8.66kN ? MA ? 0 ? 2VB ? 10 ? sin 300 ? 1 ? 0 ? VB ? 2.5kN ? y ? 0 ? VA ? VB ? 10 sin 300 ? 0 ? VA ? 2.5kN
? ? x? 0 ??? M A ? 0 ??? M B ? 0
HA VB VA
B VB
25
平面任意力系的平衡方程
?? ???
MA ? 0 MB ? 0
HA
??? MC ? 0
三矩式 A、B、C三点不共线
A
C
a VA
B VB
?? ???
MA ? 0 MB ? 0
??? MC ? 0
VB VA VA VB