线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若AX = 0 (A为m n矩阵)的一组解为&丄，b r,且满足：⑴&飞丄，& r线性无关；(2) AX = 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称&丄,& r为AX = 0的基础解系.称X k i & k2 & L k n r & r为AX = 0的通解。
其中k i, k2,…,S为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0 (A为m n矩阵)满足r(A) n，则只有零解；(2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) n .(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 A 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(A).2 、非齐次线性方程组AX B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数(也即方程的个数) ，n是未知量的个数，则有：(1)当m n时，r(A) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0 ；(3)当m n且r(A) n时，若系数矩阵的行列式A 0 ,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(A) n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) n，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 (A为m n矩阵)通解的三步骤(1) A 行C (行最简形)；写出同解方程组CX =0.(2) 求出CX =0的基础解系& , &丄,& r ;(3) 写出通解X k1 & k2 & L k n r & r其中X k2,…,k n-r为任意常数•2X 13屜 X 3 5X 4 0, 【例题13x 1 X 2 2X 3 X 4 0, 】 解线性方程组4x 1 X 2 3x 3 6x 4 0,X 12X 24X 37X 40.解法- 一: 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵12 4 723 1 5 07 10 14A3 1 2 1 L0 0 43 164 1 3 6 712470 267 -43显然有r(A) 4 n ，则方程组仅有零解，即X-i x 2X 3 X 4 0.解法二： 由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n )(注意：方程组的个数不等于未知量的个数(即m n),不可以用行列式的方法来判断)，从而可计算系数矩阵 A 的行列式:注：此法仅对n 较小时方便解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵3x 12x ? X 3 X 4 3X 50,X 2 2x 3 2X 4 6X 50, 5为4x ?3X 33X 4X 50.X1X 2 X 3 X 4 X 5【例题2】解线性方程组1 1 1 111 1 1 1 1 r2 r1 01 1 5r 1 ( 5) r 4「2 「33 A2 1 1 3巾(3) 90 1 2 2 6 2 3r 2 ( 1) r 4 0 1 2 2 6 0 1 2 2 61 2 2 6 (1) r 20 0 0 0 0 5 4 3 3112260 02 3 3 1 A41 1 21 2 3 45 16 7327 0，知方程组仅有零解，即X 2X 3 x 4 0.0,可得r(A)X1X 2 X 42X 4兔(其中 6X 5- X 3，X 4， X 5为自由未知量) 令X 3 1， X 4 0， X 50 ,得 X ,1,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 1， X 5，得 X 11,X 2 2 ； 令X 3 0， X 4 0， X 5 1，得为5,X 26，2X 3 于是得到原方程组的一个基础解系为1 1 5 226 11， 2， 30 . 0 1 0 01所以，原方程组的 通解为Xk 1 1k 2 2k 3 3( k 1，k 2，k 3R)二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解(A m n, r(A) r ) 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关C 11 C 12L C | r L G n d 1C22 L c2rL On d 2O MM M行(AMb)c rr L crnd r其中C d r 1 i 0(i1,2,L ,r),所以知M(1)d r 1 0时,原方程组无解.⑵d r 1 0,r n 时,原方程组有唯一解.⑶d r 10,r < n 时,原方程组有无穷多解.其通解为 X 0k 1&k 2& Lk n rEnr ,匕飞2丄为任意常数。
其中：& i , &丄 ,& r为AX = b 导出组AX ==0的基础解系， 0为AX = b 的特解,【定理1】如果是非齐次线性方程组 AX=b 的解， 是其导出组AX=0的一个解，则 是非齐次线性方程组AX=b 的解。
【定理2】如果°是非齐次线性方程组的一个特解， 是其导出组的全部解，则°是非齐次线性方程组的全部解。
由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解 可表示为：°C i 1 C 2 2 C n r n r【例题3】判断下列命题是否正确，A 为m n 矩阵. (1) 若AX=0只有零解，则AX=b W 唯一解. (2) 若AX=0有非零解，则AX=b W 无穷多解. ⑶若AX=b W 唯一解，则AX=0只有零解.其中：0是非齐次线性方程组的一个特解,n r 是导出组的一个基础解系。
答：错，因 r (A )= n , r (A )= n = r (A | b ) 答：错，因 r (A )< n ，r (A )= r (A | b ) 答：对，r (A )= r ( A | b ) = n.(4) 若AX =0有非零解，则A T X=0也有非零解.答：错,A 为 m n , r (A )= m <n , r (A T )=m 这时 AX=0 只有零解.例如 A 为 3 4, <4, r (A )=3=m(5) 若 r ( A )= r =m 则 AX=b 必有解. 答：对，r (A )= r=m= r (A | b ).(6) 若r ( A )= r = n ,则AX=b 必有唯一解.答：错,A 为m n ,当m n 时，可以r (A | b ) =n +1.⑴唯一解:r(A) r(A) n 线性方程组有唯一解X 1X 2 2X 3 1, 【例题4】 解线性方程组2x 1 X 2 2X 3 4,4x 1X 24X 32.X i 1, 可见r(A) r(A) 3，则方程组有唯一解，所以方程组的解为x 2 2, X 30.X 1 X 2X 32X 4 3,【例题 6】解线性方程组2X |X 23X 41,2x 12x 310X 44.1 11 2 311 123 解: A(A B) 2 1 0 3 1 r1 ( r1 2) r 22「30 1 2 752 0210 42414 10⑶无穷多解：r(A) r(A) n线性方程组有无穷多解 B A/(.-A14 22 2 4^1 ^1 ^112 41-2 2 ) r4-3/.V2 (3 316 00010 3 01001-31002 2 412 013 300116 60 d r 10,则原方程组无解)2x-|X 2 X 31, 【例题5】解线性方程组X 1 2x 2X 32,X 1X 22x 34.21 1 1解: A (A B)1 2 1 2 r1 r2 r 1 2 r 211 24「1 ( 1) r 312 1 2 12 1 2 03 3 3 r2 r 33 3 3， 0 3360 032 4⑵无解：r(A) r(A)线性方程组无解(或若阶梯形方程组出现可见r(A) 3 r(A) 2，所以原方程组无解2 5 05 7 012 0O 1 O1 o O3 1\?可见r(A) r(A) 则方程组有无穷多解，其同解方程组为X2X32X5X4,7X4.(其中X3, X4为自由未知量)令X3 0,X4 0,得原方程组的一个特解又原方程组的导出组的同解方程组为X iX2X32X35X4,7X4.(其中X3, X4为自由未知量)令X3 1，X4 0 ,得X1 1,X2 X3 X4 1，得X1 5, X2 于是得到导出组的一个基础解系为所以，原方程组的通解为X k1 1k2 2 ( k1 ,k2 R)2X1X2 X3 X4 1,【例题7】求线性方程组：X1 2X2X3 X4 2,的全部解.X1 X2 2X3 X4 3.2 1 1 1 1 r1 r2 r1( 2) r2 1 2 1 1 2 解: A (A B) 1 2 1 1 2 r1 ( 1) r s 0 3 3 3 32 1312 31132 13100 4 163 2 33 160101001-3 (12( 12 g B m 吃3-2 3-2 1- 2011121301121X i 12心X2 3X4,2（其中X4为自由未知量）X3 1丄&.21令X40 0，可得原方程组的一个特解1 -X i又原方程组的导出组的同解方程组为x232X4，3—X4,(其中X4为自由未知量) 21X4.2令X4 2 （注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得X i 3,X2 3,X3 1 ,3于是得到导出组的一个基础解系为3.12X 1 3X23X3 2X4X5 3【例题8】求非齐次线性方程组2x16X2X33X4 2 的全部解。
X13X22X3 X4 X5 13x19X24X3 5X4X55解：1 3 32 13 1 3 3 2 1 3 1 3 3 2 1 32 6 13 0 2 0 0 5 1 24 0 05 1 2 4 A1 32 1 1 1 0 0 5 1 2 4 0 0 0 0 0 03 945 1 5 0 0 5 1 2 4 0 0 0 0 0 0 因为r(A) r(A) 2 5，所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未知量为X2 , X4 , X5，所以，原方程组的通解为X k （k R）原方程组与方程组X i3X2 3X3 2X4 X5 3同解5X3X42X5 4|,0,|,0,0再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组Xl 3X2 3X3 2X4 X5 0同解5x3x42x501 0 0对自由未知量X2, X4,X5分别取0 , 1 , 0 ,代入上式得到其导出组的一个基础解系为0 0 13 75 1 51 0 01 0 ,12 5 , 325 0 1 0 0 0 1则原方程组的全部解为：X C1 1 C2 2 C3 3 0三、证明与判断【例题9】已知1, 2, 3是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系，证明1, 1 2, 1 2 3也是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系。