第七章 质点动力学 习题解答

7-1 质量为40 g的小球M以初速度v =8 j (m/s)从点A(0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i方向恒定的电磁力作用，其大小F = kN，如图所示。求小球M到达xy平面点B时，点B的坐标和小球的速度。

解：取小球M为研究对象，小球所受到的主动力为

kiFmgFR

由质点运动微分方程RFmr，写出投影式

Fxm，0ym，mgzm

初始条件为

000ttyx，3.00tz；

000ttzx，vyt0

解得质点的速度方程为

tmFx，vy，gtz

质点的运动方程为

22tmFx，vty，3.022tgz

当0z时，小球到达xy平面，由

03.022tgz

解得s247.01t，于是小球到达xy平面时的各速度分量为

m/s7.494811tmFxtt，m/s81vytt，m/s425.211gtztt.

各坐标为

m2.6122211tmFxtt，m979.111vtytt，

m137.23.02211tgztt.

7-2 图示A，B两物体的质量分别为mA和mB，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r。运动开始时，两物体的高度差为h，且mA > mB，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。

解：分别取A和B物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程

TAAAAFWxm， TBBBBFWxm，

式中gmWAA，gmWBB，根据题意，有

TBTAFF，BAxx，BAxx

初始条件

00tAx，hxtB0，00tAx，00tBx.

解以上初值问题，得

题7-2图

题7-1图 F v

B A

i M

O z

x y j k

题7-2受力图

gmmmmxBABAA， 22gtmmmmxBABAA

gmmmmxBABAB， hgtmmmmxBABAB22

令BAxx，即

hgtmmmmgtmmmmBABABABA2222

解得当两物体达到相同高度时

gmmhmmtBABA...

7-3 质量为m的质点M受到引力F = ?k2mr的作用，其中k为常量，运动开始时，质点M在轴x上，OM0 = b，初速度v0与轴x的夹角为?，如图所示。试求质点M的运动方程。

解：取质点M为对象，列出质点运动微分方程：

Frm，

投影式为

xkx2，yky2

初始条件：bxt0，00ty；

cos00vxt，sin00vyt.

解上述初值问题，得质点M的运动方程

ktbktkvxcossincos0，ktkvysinsin0.

7-4 图示套管A的质量为m，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另一端绕过离杆距离为l的滑轮B而缠在鼓轮上，当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v0。如果滑轮尺寸略去不计，试求绳子的拉力与距离x之间的关系。

解：取套管A为研究对象，受力图如图示，先进行运动学分析.

将

22xlAB

对时间求导，得

022ddvxlxxABt

解出

022vxxlx，

再对时间求导，并将上式代入，得

3202xvlx.

在铅锤方向列出动力学方程 ? vMF M

r

O x y

题7-3

题7-4图

题7-2受力图 m

mgFxllmaT22

其中xa，于是绳子的拉力TF与距离x之间的关系为

lxlxvlgmFT223202.

7-5 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当r = 10 000 m，? = 60?，rad/s02.0，且2rad/s002.0时，火箭的质量为5 000 kg。求此时的喷射反推力F。

解：以火箭为研究对象，设坐标系如图示，

sinry，constsinrx，

将上式对时间求导后，解得火箭的速度

cosry

再次对时间求导，并将上式代入，解得火箭的加速度

ry22coscossin2

在y方向列写动力学方程，

mgFym，

喷射反推力F为

gymF

将数据代入，求得此时的喷射反推力

kN56.387F.

7-6 质量皆为m的两物块A，B以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所示。当自由释放时，求此瞬时杆AB所受的力。

解：1）取物块A为研究对象，AB杆为二力杆BAABFF，受力图如图示，列出动力学方程

AAABAamFgmsin， （a）

2）取物块B为研究对象，

BBBAamFcos， (b)

3）运动学分析

sin,coslylxAB

对时间求二次导数，得

cos,sinlylxAB； sincoscossin22lylxAB

在初瞬时，0，初加速度为

coslaA， sinlaB (c)

由（a）、(b) 、(c)三式解得

gmmmmFBABAAB22sincos22sin

题7-5图

题7-6受力图

题7-6图

据题意，BAmm，初瞬时120，杆AB所受的力为

mgFAB23.

7-7 质量为m的小球以水平速度v0射入静水之中。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，且与速度的大小成正比，即F = ??v，?为阻尼系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。

解：取小球为研究对象，列出动力学方程

gFrmm，

投影式为

xxm，mgyym

初始条件：

000ttyx，0,000ttyvx.

解上述初值问题，得小球在重力和阻力作用下的运动方程为

tmemvx10，tmegmtmgy122.

7-8 滑块M的质量为m，在半径为R的固定光滑圆环上滑动。圆环位于铅垂平面内。滑块M上系有一弹性绳，它穿过圆环的点O固定于A。已知当滑块在点O时，绳的张力为零。弹性绳每伸长1 (cm)需力c (N)。开始时滑块在圆环的顶端点B，处在不稳定平衡状态，当它受到微小扰动时，沿圆环滑下，?为绳的OM部分与水平线的夹角，如图所示。试求滑块M的下滑速度v与?角的关系以及圆环的约束力。

解：取滑块M为研究对象，受力图如图示，列出切线和法线方向的动力学方程，

2sincosTtmgFma， （a）

2cossinTN2mgFFRvm, (b)

式中，Ra2t，sin2TcRF.初始条件为

20t，00t.

解此初值问题. 关系利用dd，积分式（a）

20d2sind2mgcRmR，

gmcRR1cos，

得滑块M的下滑速度v与?角的关系

gmcRRRvcos22，（与τ方向相反）.

从（b）式解得圆环的约束力

题7-7图

滑块受力图

题7-8图

2coscos4sin222NmgcRmgcRF.

7-9 作用有简谐激振力F，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图所示。设质点的质量为m

= 350 kg，弹簧的刚度为k = 20 kN/m，简谐激振力振幅的大小H = 100 N，激振频率f = Hz ,阻尼元件的阻尼系数c = 1600 N·s/m，试求系统受迫振动的振幅，受迫振动相位滞后激振力相位角和受迫振动的方程。

解：选取平衡位置为坐标原点，x轴垂直向下，i为单位向量，

弹性恢复力 iFxkk，

粘性阻尼力 iFxcc，

简谐激振力 itHFsin

质点运动微分方程的为

tHkxxcxmsin2

化作标准形式

thxxnxnsin22

其中 mcn2，mkn2，mHh，f2，

振幅为

222224nhbn

受迫振动相位滞后激振力相位角的正切为

222tannn

代入数据，得 mm90.1b,rad50.0. 受迫振动的方程为

mm50.071.15sin90.1tx

7-10质量为m 的质点在水平面的上空受斥力的作用而处于悬浮状态，斥力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为?。求质点在平衡位置附近作竖向微振动的运动微分方程。

解：以质量为m 的质点为研究对象，以斥力为零的水平面为坐标原点，斥力为xF，受力图如图示，运动微分方程为

mgxxm.

7-11 在图示振动系统中，已知：重物A的质量m = 1 kg，两串联弹簧的刚度系数分别为k1 =12 N/cm, k2 = 4 N/cm，? =

30?，斜面摩擦不计，在弹簧没有变形时将重物A无初速地释放，同时B端以? = (10t) cm沿斜面运动。试求重物A的运动方程。

解：取重物A为研究对象，串联弹簧的等效刚度系数k满足

习题7-9

质点受力图

题7-11