t
x
dx
0,
t,
t<0 t>0
t
t
t
t
x
dx
t
t
'x
dx
tdt 1
'tdt 0
• 四.冲激函数的性质：
• 1.与普通函数的乘积： f t t f 0 t
筛选特性
f
t tdt
f
0 tdt
f
0
f t ' t f 0 ' t f ' 0 t
f
t
' t dt
f
' 0
• 而一些广义函数间乘积无定义如：δ(t)ε(t);δ(t)δ(t);δ(t)δ’(t)等。
第四节 阶跃函数和冲激函数
• 一. 阶跃函数和冲激函数
rn(t)
1
1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数： 2
n 1
1
t
n
• rn(t)=
0
, t<-1/n 即信号从(-1/n,1/n)区间内从0幅度升高到1。
•
½+nt/2 , -1/n<t<1/n
•
1
, t>1/n
• 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数
波形如图:
t
t 0,t 0
• 冲激函 t
dt
t
t
x
dx
• 二.冲激函数的广义定义
• <1>δ(t)广义定义：对一个性能良好的函数φ(t)（检验函数）有以下定义
则δ(t) 为冲激函数：
(t ) (t )dt
，(0φ)(t)为一般函数，性能良好
•
2.移位：
t
t1
f
t dt
f
t1
f
t
' t
t1 dt
f
' t1
f(t)
• 例：如图函数求其导数
4
• 解：ƒ(t)= 0
t<0,t<3
•
2+
2 3
t
0≤t≤ 3
2
t
3
•
=(2+
2 3
t)[ε(t)-ε(t-3)
]
•
f
't
2
2 3
t
t
t
3'
2
2 3
t
'
t
t
3
2
2 3
t
t
t
3'
2 t t 3 2 2 t 't 't 3
具有任意阶导数，φ(t)及各高阶导数在无限远处急剧下降。该式包含筛
选特性，即冲激函数δ(t)与检验函数φ(t)作用效果是从φ(t)中选出t=0的值。
δ(t)还有其他的广义定义。
• •
<1.2冲>冲激激函函数数的的导导数数定和义积：分：1 t
d t
dt
nt
d n t
dt n
叫冲激偶，波形：
n (t)
偶函数
•
nt 1n t n为偶数时为偶函数
•
n为奇数时为奇函数
• 5.复合函数形式的冲激函数：
•
n
f t i1
f
1
' ti
t
ti
ti为ƒ(t)=0的单根时，重根无意义
•
例.
4t 2 1 1 t 1 1 t 1
4 2 4 2
根t1=
1 2
,t2=
1 2
3
3
2 tt 3 2 t 2 t t 2 t 3 2 t t 3
3
3
3
2 t t 3 2 t 4 t 3
3
• •
3.尺度变换：
at 1
a
a为常数
t
推论
at b
1 a
t
b a
1at 1 1 1t
aa
nat
1 a
1 an
n
t
• 4.奇偶性： t t
•
0 t<0
•
t def
lim
n
rn
t
1/2
t=0
•
1 t>0
• 2.冲激函数：若有一个函数 •
Pn(t) Pn(t)= 0 t<-1/n t n/2 -1/n<t<1/n
•
-1/n 1/n
• 当信号宽度 0 ,而面积保持不变而形成 一个冲激叫单位冲激函数。
•
δ(t)
t def
lim
n
Pn t
t
• 阶跃函数ε(t)的导数有：ε’(t)=δ(t).
• 可利用阶跃函数和冲激函数广义定义证明：
•
' (t) (t)dt
t ' t dt
0
'
t
dt
0
•
而 (t) (t)dt 0
比较两式得ε’(t)=δ(t)
• 2.冲激函数的积分
•
•
先定义一种函数，斜坡函数r(t)=
则
r
t