代入（＊）式后可求得
u r u ru ru ru ru ru ru r u ru r ( A B ) A ( B ) ( A ) B ( B ) A B ( A )
5
三、二重算子
在电磁场理论中，除了上面所介绍的一重算子的算式外，
还经常碰到 f , , u A r, u A r等二重算子的算式
2A 2A 2A x2 y2 z2
2A
2 x2
2 y2
2 z2
2
A A xe xA ye yA ze z 2 xA 2 2 x A 2 xe x 2 x A 2 ye y 2 x A 2 ze z
A ( 2 x A 2 x 2 y A 2 x 2 z A 2 x ) e x ( 2 x A 2 y 2 y A 2 y 2 z A 2 y ) e y ( 2 x A 2 z 2 y A 2 z 2 z A 2 z ) e z
微分算子▽的三种基本运算为
f gradf ur ur
A urdivA ur ArotA
1
二、 一重▽算子
f (xexyeyzez)f
fxex fyey fzez
A(xexyeyzez)A
x(e xA ) y(e yA ) z(e zA )
Ax x
Ay y
Az z
x
f z
ey
2 f xyez
2 f xz
ey
ye y （ xfe x yfe y zfe z ） x 2 fy e z y 2 fze x
ze z （ xfe x yfe y zfe z ） x 2 fze y y 2 fze x
2 A x e x 2 A y e y 2 A z e z
7
证明 (： f)0
（ f） （ x e x y e y ze z ） （ f x e x f y e y f ze z ）
xex （fxex fyeyfzez） x
f y
ez
1.3 矢量微分算子
一、微分算子▽的定义
xexyeyzez
在电磁场理论中,为简化运算，引入了微分算子▽，它 已成为场论分析中不可缺少的工具。微分算子▽是一个运算 符号，在运算中具有矢量和微分的双重性质，其优点在于可 以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数运算，从而明显 地简化运算过程，并且推导简明扼要，易于掌握。
可得
u r u ru ru r u u r u r u ru ru ru r ( A c B ) A ( B ) ( A c ) B A ( B ) ( A ) B
( A B c ) ( B c ) A ( A ) B c ( B ) A B ( A )
2z2f
6
例2：求
ur A
在直角坐标系中的展开式。f
2f x2
2f y2
2f z2
A A x A ( e x x e x y A y e e yy zz A e z e ) z( A x e x A y e y A z e z )2 f
例1：求 f 在直角坐标系中的展开式。
f f f f x e xf y e yf ze zf x e x y e y ze z
f ( x e x y e y ze z)( f x e x f y e y f ze z)
2 f x2
2yf2
如果有某些函数位于算子 的前面，那么在运算中这些函
数应视为常数，不受微分影响。
2
含有▽算子的算式的性质
1）对于任何▽，可以将▽看作普通矢量进行矢量代数的恒等变 换，所得结果不变。但是在变换中不能将▽后面的函数移到▽ 的前面（除非此函数视为常数），而若把▽前面的函数移到▽ 的后面时应在此函数上加注下标c，以表示它被视为常数。 2）如果在▽的后面有两个函数相乘（包括数乘、点乘和叉乘）， 那么▽可表示为两项之和。在其中一项中，前一函数视为常数， 不受微分影响，而在另一项中，后一函数视为常数，不受微分 影响。
x
y
z
f Ax f Ay f Az
ur f Байду номын сангаасA
(fu A rc ) ( xe rx fu A r c y) ( e r zyfu A rc ) ( e rzfu A rc )
x
y
z
所以
u A rfe rxu A rfe ryu A rfe rz
ur Af
xu r yu ru rz
A x(e x A ) y(e y A ) z(e z A )
x ( A y e z A z e y ) y ( A x e z A z e x ) z ( A x e y A y e x )
e x( A y z A z y) e y( A z x A x z) e z( A x y A y x)
3
例1：
ur (f A)?
u r u r u r
( fA ) ( f c A ) ( fA c )
(fc u A r) f x (e r (x e rxfc u A ru A r )) f y (e r (e r yyfc u A ru A r )) f z (e r (e r zz fu c A ru A r ))
(fA ) f A A f
4
例2：
ur ur (AB)?
u r u r u r u r u r u r
( A B ) ( A c B ) ( A B c ) ( * )
由矢量代数恒等式
u r u r u ru r u r u ru r u r u r u r u r u ru r u r u r A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C B ( A C ) C ( A B )