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层次分析法步骤介绍

层次分析法整个计算过程包括以下五个部分。

(1)建立递阶层次结构
应用AHP解决实际问题,首先明确目标;接下来分析影响目标决策的各个因素,并将它们之间的关系条理化、层次化;最后,用线将各个层次、各个因素间的关系连接起来就构成了递阶层次结构。

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通常,递阶层次结构包括以下三个基本层次:
1.目标层:通过分析,明确目标就是什么,将其作为最高层的元素,必须就是唯一的,
如:选择最合适的供应商
2.准则层:即中间层,元素包含所有可能影响目标实现的准则,且会随着问题的复杂
程度增多。

这时,需要详细分析各准则元素间的相互关系(就是同级关系还就是隶属关系)。

如果就是隶属关系,则需要构建子准则层甚至更下一层准则。

3.措施层:即方案层。

分析解决问题的方案有哪些,并将其作为最底层因素。

(2)构造判断矩阵并赋值
1.构造判断矩阵:将每一个具有向下隶属关系的元素作为判断矩阵的第一个元素(位
于左上角),隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行与第一列。

2.填写判断矩阵:最常用的方法就是咨询专家,将两个元素两两比较,按照重要性程
度表赋值(见下表)。

表3 重要性标度含义表
设填写后的判断矩阵为A=(a ij)n×n,判断矩阵具有如下三个性质:
1.a ii=1
2.a ji=1/a ij
3.a ij>0
(3)层次单排序与检验
1.层次单排序
利用数学方法将专家填写后的判断矩阵进行层次排序。

层次单排序就是将每一个因素对于其准则的重要性进行排序,实际就就是计算权向量。

计算权向量有特征根法、与法等,以下详细介绍特征根法的计算方法。

A.计算判断矩阵每一行元素的乘积
∏==n
j ij i a M 1
(3、2)
式中:
M i 第i 行各元素的乘积
a ij 第i 个元素与第j 个元素的关系比值
B. 计算Mi 的n 次方根
n i i M W = (3、3)
式中:
W i 第i 行各元素的乘积的n 次方根 M i 第i 行各元素的乘积 C. 对向量正规化(归一化处理)

==
n
i i
i
i W W W 1
(3、4)
式中:
i W
特征向量
W i 第i 行各元素的乘积的n 次方根 D. 计算判断矩阵的特征根
j n j ij i W a ∑-=1
λ (3、5)
式中:
λi 第i 个特征根
a ij 第i 个元素与第j 个元素的关系比值 W j 第j 个特征向量 E. 计算判断矩阵的最大特征根

=⨯=n
i i
i
W n 1
max λλ (3、6) 式中:
λmax 最大特征根 λi 特征根
n 判断矩阵的阶数 W 特征向量 2. 层次单排序一致性检验
需要特别注意:在层层排序中,要对判断矩阵进行一致性检验。

判断矩阵唯有通过检验,才能说明其逻辑上就是合理的,才能继续对结果进行分析,否则没有意义。

一致性检验分为下面三个步骤:
A. 计算一致性指标C 、I 、(consistency index)
1
..max --=
n n
I C λ (3、7) B. 确定平均随机一致性指标R 、I 、(random index)
按照各个判断矩阵的不同阶数(即n)查下表,确定相应的平均随机一致性指标R 、I 、。

例如,当判断矩阵为3阶时,R 、I 、=0、58。

表4 平均随机一致性指标R 、I 、表
C. 计算一致性比例C 、R 、(consistency ratio)并进行判断
.
..
...I R I C R C = (3、8) 当C 、R 、<0、1时,判断矩阵的一致性就是可以接受的,即各元素间关系就是符合逻辑的;C 、R 、≥0、1时,判断矩阵不符合一致性要求,即各元素间关系存在某些不符合逻辑的现象,需要重新修正该判断矩阵。

(4) 层次总排序与检验 1. 层次总排序
总排序就是计算最底层各因素针对目标层的相对权重,采用从上至下的方法,逐层计算得出的。

假设已算出第n-1层h 个元素相对于目标层的权重W (n-1)=( w 1(n-1), w 2(n-1),…, w h (n-1))T ,第n 层k 个元素对于上一层(第n-1层)第j 个元素的单排序权重就是
p j (n)=(p 1j (n),p 2j (n),…,p kj (n))T ,其中与j 无关的元素的权重为零。

令P (n)=(p 1(n),p 2(n),…,p k (n)),表示第n 层元素对第n-1层个元素的排序,则第n 层元素对于总目标的总排序为:
W (n) = (w 1(n),w 2(n),…,w k (n))T = P (n) W (n-1) (3、9)
2. 层次总排序一致性检验
同层次单排序一样,总排序也需要进行一致性检验。

步骤如下: A. 计算总一致性指标C 、I 、
假定已算出针对第n-1层第j 个元素为准则的C 、I 、j (n-1)、R 、I 、j (n-1)与C 、R 、j
(n-1), j=1,2,…,m,则第n 层的综合检验指标
C 、I 、j (n) =(C 、I 、1(n-1) ,C 、I 、2(n-1) ,…, C 、I 、m (n-1))W (n-1) (3、10) B. 确定平均随机一致性指标R 、I 、
R 、I 、j (n) =(R 、I 、1(n-1) ,R 、I 、2(n-1) ,…, R 、I 、m (n-1))W (n-1) (3、11)
C.计算总一致性比例
C、R、 (n) = C、I、(n)/R、I、(n) (3、12) 当C、R、(n)<0、1时,认为判断矩阵的整体一致性就是可以接受的。

(5)结果分析
分析排序结果,得出最佳的决策方案。

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