2. 流束：
流管内的一束运动流体称为流束。
3. 元流：
如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管,微流管内的流 束称为元流。
4. 总流： 无数元流的总和称为总流。
§3-1 描述流体运动的方法
五.流量：
过流断面：与流线正交的横断面。
对曲面A,（体积）流量 Q： 单位时间内通过过流断面的流体体积。
Q VndA
1 p
as fs s
加速度： as
u t
u
u s
如果流动恒定，则：
as
u
du ds
d ds
u2 2
§3-5 伯努利方程
如果质量力仅为重力：
fs
g cos
g
dz ds
d ds
gz
如果ρ为常数：
as
fs
1
p s
1
dp ds
d ds
p
d ds
u2 2
d ds
gz
d ds
2. 欧拉法：
研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参 数的分布。
u= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t)
§3-1 描述流体运动的方法
2. 欧拉法：
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
§3-2 连续性方程
(u) () (w) 0
t x
y
z
对于定常流动（恒定流）：
(u) () (w) 0
x
y
z
当ρ=常数时（不可压缩流体）：
u w 0
x y z
作业：P106，第6题、第8题。
§3-3 流体运动的微分方程
一. 理想流体的运动微分方程：
理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。
A
平均流速：V = Q / A
§3-1 描述流体运动的方法
六.均匀流、非均匀流、渐变流、急变流：
1. 均匀流与非均匀流：
在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀流； 否之，则为非均匀流。
2. 渐变流与急变流：
在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变 流（或称缓变流）；否之，则为急变流。
第三章 流体力学基本方程
本章研究：
流体机械运动的基本力学规律及其在工程 中的初步应用。
思考1
➢ 为什么河道较窄的地方流速较大？
思考2
➢ 高楼顶层的水压为什么较低？
思考3
➢自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么
不能爬上几米的岸边山坡？
思考4
➢水流速度V2是多少？
§3-1 描述流体运动的方法
描述流体的运动的困难
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
七.一元流动、二元流动、三元流动：
若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流 动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数， 这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的 函数，这种流动称为一元流动。
dx dy dz x 2y 5z
dx1d(2y)d(5z) x 2 2y 5z
dx x
1 2
d(2 y) 2y
dx x
d(5 z) 5 z
由上述两式分别积分，并整理得：
§3-1 描述流体运动的方法
x
y c1
①
xc2z5c2 0
即流线为曲面 x y c1 和平面 xc2z5c20的交线。
§3-1 描述流体运动的方法
a V u V v V w V t x y z
加速度的投影值：
ax
u t
u
u x
v
u y
w
u z
v v v v ay t u x v y w z
az
w t
u
w x
v
w y
w w z
作业：P52-53，第19题、第21题。
§3-1 描述流体运动的方法
二.恒定流与非恒定流：
ln x ln y C1 xyc
流线过点A（-1，-1） ∴ C =1
流线方程为： x y 1
§3-1 描述流体运动的方法
例2：已知某流场中流速分布为：u = -x， v = 2y, w = 5-z。 求通过点(x,y,z) = (2,4,1)的流线方程。
解：
流线微分方程为： dx dy dz u vw
p
0
积分得： gz p u2 const.
2
沿流线积分
§3-5 伯努利方程
或：z p u2 H const.
2g
这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯努利 方程。
Z
和p
：物理意义和几何意义见第二章
u2 ：物理意义→单位重量的流体所具有的动能 2g 几何意义→流速水头
V0 (x, y, z,t)
t+Δt 时刻位于(x+Δx, y+Δy, z+Δz, t+Δt),速度为：
V1(x x, y y, z z,t t)
V0和V1的关系为：
V1
V0
V t
t
V x
x
V y
y
V z
z
(泰勒展开式)
§3-1 描述流体运动的方法
用粗体字母表示矢量，则：
加速度： a lim v1 v0 (to) t
§3-1 描述流体运动的方法
描述流体的运动的困难
§3-1 描述流体运动的方法
一.拉格朗日法与欧拉法： 1.拉格朗日法：
§3-1 描述流体运动的方法
一.拉格朗日法与欧拉法： 1.拉格朗日法：
研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。
设某质点的轨迹为： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。 (a,b,c)为质点的初始位置坐标。
§3-1 描述流体运动的方法
动
§3-1 描述流体运动的方法
§3-1 描述流体运动的方法
例1：已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0
求：t = 0 时，经过点A（-1，-1）的流线方程。 解： t = 0时，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流线微分方程：
dx dy x y
因此：
d dt
d
dM dt
t
d
A
vndA
对于任一物理量φ（如动量）：
d dt
d
t
d
vndA
A
φ——单位体积的某物理量。
§3-2 连续性方程
d dt
d
t
d
vndA
A
即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的 时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。
由于质量守恒，因此：
§3-1 描述流体运动的方法
三.迹线和流线：
迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。
§3-1 描述流体运动的方法
三.迹线和流线：
流线：
§3-1 描述流体运动的方法
三.迹线和流线：
§3-1 描述流体运动的方法
三.迹线和流线：
流线和迹线的区别：
§3-1 描述流体运动的方法
流线微分方程：
设流线微段为：
2. 连续性方程的推导：
系统的流体质量为： M (t) (t)d (t)
质量守恒: 系统的质量在任何时刻都相等。
dM lim M (t t) M (t) 0
dt t0
t
我们选取 t 时刻系统的体积τ 和表面积 A 为控制体的 体积和表面积。
§3-2 连续性方程
dM lim M (t t) M (t) 0
从理想流体中取出边
长分别为dx、dy和dz的微 元平行六面体。设微元 体中心点的速度分量为u、 v和w，其压强为p、密度 为ρ。
x方向： max = F x
dxdydz
ax
f
x
dxdydz
p p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
§3-3 流体运动的微分方程
1 p
即： ax fx x
dt t0
t
M (t t) M (t) (t t)d (t)d
(tt)
(t)
(t t)d (t t)d (t)d
(t)
(t)
[(t t) (t)]d (t t)d
(t)
[(t t) (t)]d (t t)vndA t
(t)
A
§3-2 连续性方程
2u z 2
ay
fy
1
p y
2v
x2
2v y2
2v
z 2
az
fz
1
p z
2w x2
2w y2
2w
z 2
在N-S方程中，若 = 0（理想流体），则N-S方程变为
欧拉运动微分方程。
§3-5 伯努利方程
一.理想流体沿流线s的伯努利方程：
1. 方程的推导：
考查理想流体沿流线s的运动方程：
x
dx 2
u
u x
dx 2
dy
(u)
x
dxdy
§3-2 连续性方程
同理,单位时间内y方向净流出的质量为： (v) dxdy
x
因此： dxdy (u) dxdy (v) dxdy 0
t
x
y
即： (u) (v) 0
t x y
三元流动： (u) () (w) 0
t x
y