数学归纳法教学设计与反思长春市十一高中杨君一、教学内容解析就本节课的题目而言，它有两个意思，一个是归纳法，另一个是数学归纳法。

归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，是现实生活中人们自觉或不自觉普遍运用的方法，特别是不完全归纳法所得到的命题虽然不一定成立因而并不能作为一种论证方法，同时也应该看到不完全归纳法是数学中普遍存在的一种方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段，具有很好的创造性。

在科学发现中也是如此。

数学归纳法呢？它是证明与正整数n(n取无限个值)有关命题的重要工具，是一种重要的数学思想方法．其理论依据是归纳公理(即设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合)和最小数原理(即自然数集的任何非空子集必有一个最小数)，其实质是把具有共同特征的、无限重复的递推过程( )真? ( +1)真? ( +2)真?…用具有高度代表性、概括性的( )真? ( +1)真来代替，而核心与关键是如何利用归纳假设和递推关系．数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性.数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”。

二、教学目标设置1、知识和技能目标(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。

2、过程与方法目标通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。

在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辨证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。

初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

教学重点和难点教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。

教学难点：（1）使学生理解数学归纳法证题的有效性；（2）递推步骤中归纳假设的利用和代数恒等变换。

三、学生学情分析1．学生已有的经验和基础．①学生对正整数的特点有感性认识；②对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣；③初步了解归纳、演绎等推理方法以及分析法、综合法等证明方法，具有了一定的逻辑知识的基础。

④虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律，高中一年级已知数列的前几项归纳推理该数列的一般项，等差数列和等比数列通项公式的推导过程，在数列的学习中对递推思想有一定的体会；在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实，等等，都蕴含着归纳法与数学归纳法的萌芽和基础．⑤学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在讨论函数时，用“定义域内任意数”来代表“定义域内的所有数”；在线面垂直的定义和证明中，用“平面内任意一条直线”来代表“平面内所有直线”等。

⑥学生大都具有在生活中自觉不自觉运用归纳法推理的朴素思想，如果设置恰时恰点的“情境”就会诱发学生由特殊事例得出一般结论并希望证明所得结论的心理需求，即学生学生希望证明通过归纳推理得到的与正整数有关的命题的心理需求．2．学生可能遇到的问题与困难．①数学归纳法所要解决的是无穷多个命题p(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒为真的问题，由此造学生在理解上对于“无穷”的认知的神秘感，对于一个关于正整数n的命题P(n)，会难以将其看作是一个随自变量n变化的“命题值函数”.②为什么要引进数学归纳法？验证为何不可行？③对数学归纳法产生源头及其所要证明的问题的特征理解不到位。

④形成和得到数学归纳法原理时，如何把无穷的不断重复的递推过程用有限的、一般性的步骤来代替学生会有困难。

⑤对数学归纳法第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明、如何利用归纳假设进行证明，学生往往难以理解，将解决由P(k)到P(k+1)的传递性问题，误解为证明P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解。

⑥学生初学数学归纳法时容易把注意力集中到第二步归纳推理上，而对第一步归纳奠基重视不够，因而在运用中对数学归纳法第一个步骤的作用会感到可有可无。

⑦由于数学思想的形成需要经历感知、萌芽、发展、形成、深化期等几个思维阶段，因此学生难以在一节课内比较深刻地理解数学归纳法的精神实质。

四、教学策略分析1、“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。

它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。

只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。

2、本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。

不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。

这会对以后的学习造成极大的阻碍。

3、根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。

通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。

努力使课堂充满平等、民主、和谐的研究气氛，并充分重视全体学生的全面发展，采用模式为（1）创设情景、探究原理，激起兴趣；（2）导入课题，例练结合，激发思维；（3）练习巩固、展示强化、激活思维；（4）归纳小结、自我整合，激升思维；（5）布置作业、综合延伸、激动思维；（6）课后反思、德育欣赏、激励思维。

认识数学来源于生活，认识方法来源于生活，认识数学的科学价值和人文价值；注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力；努力培养学生数学思维能力，包括：直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够从一些特殊实例中归纳推理出一些简单的一般的结论，对客观事物中的数量关系和数学模式能作出积极地思考和判断，时时造成对学生实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神培养的氛围。

五、教学过程设计点题：数学归纳法（板书）情境1：主妇养鸡问题。

（PPT）某主妇养小鸡十只，公母各半。

她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。

每天早晨她拿米喂鸡。

到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。

”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。

这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了。

虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。

设计意图：教学的引入基于学生的认知经验或认知基础。

情境2：主妇养鸡问题的数学抽象。

（PPT）设f(n)是一个与正整数有关的命题， f(n)=(n-1)(n-2)(n-3)...(n-99)= 0 ，此式当n = 1，2，3， (99)都是成立的，即 f(1)= 0，f(2)= 0，f(3)= 0，…，f(99)= 0，但当n = 100时就不成立了，f(100)≠ 0，因为f(100)= 99！设计意图：对生活实例的数学化，使学生可能理性化看待生活中的现象与问题。

情境3：数学猜想问题。

（PPT）已知数列满足，且( n=2,3…)，通过对n=1,2,3,4时的前4项的归纳，猜想出其通项公式。

设计意图：使教学回到数学思想方法上来。

更重要的是，让学生经历归纳、猜想的全过程。

情境2学生可能会觉得已经圆满解决，但情境3的出现却能使学生真切、强烈地感受到证明和确认的必要，从而激发学生探究的欲望．但学生对问题3的理解会有两种情况：一是学生仅仅根据前4项的情况猜想出结果，这种猜想有一定的道理但缺乏足够的依据；二是学生已经发现第1项与第2项、第2项与第3项、第3项与第4项之间内在的联系，即上一项结论成立必然导致下一项结论成立．这是两种不同的思维水平，教学时要引导学生从变化的角度、联系的角度思考问题，也为学生随后清晰地认识第n项与第n+1项之间内在的联系奠定基础。

问题1：上述三个情境中，运用了什么样的推理方法？设计意图：从生活实例、生活实例的数学抽象、数学问题引出“归纳法”。

归纳法的定义（板书）问题2：上述三个情境中的“结论”正确吗？用归纳法得到的结论是否正确？问题3：怎样归纳得到的结论一定是正确的？一盒粉笔问题，长头发的是女人问题。

完全归纳法与不完全归纳法问题4：情境3中的猜想能一一能验证下去吗？设计意图: 让学生切身感受到，由于正整数有无限多个，因此要证明关于全体正整数的命题，如果靠一个接一个验证下去，那永远无法完成．同时让学生在反复验证的过程中发现第n项与第n+1项之间内在的联系，为下面的归纳、抽象做好铺垫．问题5：你能证明情境3中的这个猜想吗？（当然可以转化为等差数列而求出）问题6：情境3中的猜想是一个有关正整数的命题，我们能否找到一个更一般的方法来证明一个有关正整数的命题呢（包括这个猜想）?设计意图：通过层层递进的问题4、问题5、问题6，激发学生探求问题的欲望。

情境4：多米诺骨牌游戏（PPT动态演示）。

设计意图：从生活中熟悉的游戏切入已经引发的探求欲望，使欲望提升。

多米诺骨牌游戏现象分析，突出三点：一是多米诺骨牌游戏是涉及正整数（骨牌块数）的问题；二是第一块牌倒下；三是假如当第K块骨牌倒下时，能够导致相邻着的下一块骨牌即第K+1块骨牌倒下。