机械能守恒定律一、教法建议抛砖引玉我们建议：本单元的数学采用下述的三个步骤顺序进行第一步：通过演示实验使学生认识到机械能的转化与守恒是客观存在的。

演示的项目可以选用下列一些内容：①将小球竖直上抛——让学生观察动能转化为重力势能的过程；当小球达到最高点后自由落下——让学生观察重力势能转化为动能的过程。

②用细绳拴小球构成“单摆”，使单摆往复摆动——让学生观察摆球在竖直面内沿圆弧线摆动过程中重力势能与动能之间的交替转化。

③旋动“麦克斯韦滚摆”——使学生观察“滚摆”的重力热能与动能之间的交替转化。

在此过程中既有因滚摆重心上下变化的移动动能的变化，也有滚摆绕轴的转动动能的变化，可以开阔学生的眼界，提高学生的兴趣，但不必对其中的转动动能作定量讲述。

（注：在很多中学的物理实验室中都有“麦克斯韦滚摆”这种数学仪器。

如果没有，借一成品进行仿制也不很困难。

）④拨动“弹簧振子”——使学生观察弹性势能与动能之间的相互转化。

不必对弹性势能作定量的讲述。

作这些演示实验的目的是为了使学生认识到：“机械能守恒定律”是在科学实验的基础上总结出来的，是客观存在的，并不是单纯依靠数理推导得出的。

第二步：在“功能原理”的基础上，推导出“机械能守恒定律”的数学表达形式，并说明此定律成立的条件。

在本章第二单元中，我们导出“功能原理“最简单的数学表达形式：W F =ΔE在此基础上，我们就可以导出下面的“机械能守恒定律”的最简单的数学表达形式： 当W F =0时——定律的条件则ΔE=0——定律的结论这种表达形式虽然简单，但是不便于应用，因此我们可以再写出本章第二单元中导出的“功能原理”的展开形式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-02022121mgh mv mgh mv fs Fs i i 将W F =Fs-fs 代入上式可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=02022121mgh mv mgh mv W i i F 在此基础上，我们就可以导出“机械能守恒定律”的展开形式：当W F =0时——定律的条件则 02022121mgh mv mgh mv t i +=+ （注：关于W F =0的物理意义，我们将在后面“指点迷津”中作专题说明。

）第三步：通过例题和习题，使学生更深入具体地理解定律的物理意义，并能正确灵活地用于解答有关的物理问题。

我们将在后面的“学海导航”中讲述少量的例题，并在“智能显示”中提供大量的习题。

请同学们不要先看答案，而应独立思考，求解以后再进行核对，并从中总结出思维方法来。

指点迷津1．W F =0的物理意义是什么？在W F 中包括什么？不包括什么？首先说明：这个论题有些超过了课本中讲述的内容，但是对于物理基础较好的学生是很有益处的，可以提高他们的理解能力；对于物理基础较差的学生也可作尝试性阅读，若感觉困难，可以不学。

在本章第二单元的推导过程和专题论述中，同学们已经知道：“功能原理”中的W F 是不包含重力做功W G 的。

因此W F =0的意义就有下列两种说法（注意：说法虽不同，但本质相同）：第一种说法是：没有重力以外的其它外力做功。

第二种说法是：只有重力做功。

为了叙述简明，在高三物理课本147页中在讲述“机械能守恒定律”时就是这样叙述的——“在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生互相转化，但机械能的总量保持不变。

由于目前高中物理不对“弹性势能”作定量讲述，所以对弹性势能和动能之间的定量转化关系也暂不要求。

但升入大学以后还是要讲的，那时就会知道：通过弹力做功的过程，弹性势能与动能之间也是会相互转化的。

综上所述：重力做功可使重力势能和动能之间转化；弹力做功可使弹性势能和动能之间转化。

但是重力势能、弹性势能和动能都属于“机械能”，所以当只有重力和弹力做功时，只能引起“系统”内部各种机械能之间的相互转化，而系统的机械能总量保持不变。

通过上述的分析可知，在W F中不包括重力做功（W G），也不包括弹力做功。

在前面推导中我们知道W F= F S -fs，这就表明在W F中包括两种功：一种是除了重力和弹力以外的其它动力所做的功（F S）；另一种是物体克服阻力所做的功（fs）。

W F=0是“机械能守恒定律”的条件，希望同学们读过上述的说明后，能对此条件有正确的理解。

（将来升入大学后，还将学习“保守力”做功的概念。

）2．掌握了“牛顿运动定律”以后，为什么还要学习“机械能守恒定律“？这个问题可以从下列三个方面认识：第一、动量守恒定律、机械能守恒定律、能的转化和守恒定律、以及今后将在热学、电磁学、原子物理学还要学到的一些“守恒定律”是人类对自然界研究的重要成果，它使人们从一个新的角度认识物理世界乃至整个自然界的变化规律。

这些新知识、新观点都不是牛顿运动定律所能包容的，因而我们应当认真地学习这些“守恒”知识。

第二、掌握好机械能守恒定律能为学习下单元的“能的转化和守恒定律”奠定基础。

（阅读过下一单元的“教学建议”后，就会理解到它们之间的关系。

）第三、能够提高解题能力。

在中学阶段运用牛顿运动定律解答在恒力作用下的物体做匀变速直线运动的问题比较容易。

但是遇到一些在变力作用下的物体做非匀变速运动的问题，如果这种问题满足WF=0，使用机械能守恒定律就会迎刃而解。

（通过后面的例题和习题就能体会到）二、学海导航思维基础例题1 一人站在高10米的楼上，以10米/秒的速度倾斜抛出一质量为0.2千克的石头。

求：（1）人对石头做的功W=?（2）石头落到地面时速度的大小v t=?（空气阻力忽略不计：取g=10米/秒2。

）思维基础：1．功和能都是标量，解题时不必考虑方向。

在本题中，虽然没有明确说出倾斜抛出的倾角大小，也未讲是斜上势还是斜下抛，但只要知道抛出的速度v0=10米/秒，即使不知方向，仍可以用“动能定理”求解。

2．在本题中，由于忽略了空气阻力，所以在石头抛出后运动的过程中就只受重力的作用了，这就满足了“机械能守恒定律”的条件。

3．斜向抛出的石头是作曲线运动的，若用牛顿运动定律求解就有困难。

若用机械能守恒定律求解就十分简单例。

4．本题可分为前后两个过程——前一个过程在石头未出手前，此时人手对石头做功使石头产生动能，此过程虽不满足机械能守恒的条件，却可用“动能定理“求解：后一个过程是在石头被抛出以后，此时只有重力对石头做功了，就能够使用“机械能守恒定律”求解了。

解题过程：（1）根据动能定理，人对石头做的功等于石头动能的变化。

石头在人手中时动能为零，则抛出时速度为，即动能为mv 2021，于是可以写出下式并代值求解： )(10102.0212102122020焦=⨯⨯==-=∆=mv mv E W k（2）已知石头的初始高度h 0=10米，抛出时的初始速度v 0=10米/秒，落地时的高度为零，则根根据机械能守恒定律就可通过下式求出石头落地时速度的大小v t ：02022121mgh mv mgh mv i t +=+020221021mgh mv mv t +=+ 消去式中的m 并进行推导可得下式：)/(3.1710102102200秒米≈⨯⨯+=+=gh v v t答案：人对石头做的功W=10焦；石头落到地面时速度的大小v t =17.3米/秒。

学法指要例题2 一个质量为m 的小球被拴在一条细绳的一端，现手执绳的另一端抡动，使小球在竖直平面内做圆周运动。

则小球过最低点时绳子的张力T 1和小球过最高点时绳子的张力T 2的数值之差T 1- T 2 =?（细绳的质量、空气的阻力皆忽略不计）启发性问题：1．小球的运动过程中都受到什么力的作用？这些力是否都对小球做功？2．在解答本题时要运用哪些规律？3．你能预言出本题答案的基本形式吗？分析与说明：1．小球在运动过程中受到重力和细绳的张力的作用。

重力对小球做功（有时是做正功，有时是做负功，请读者分析思考），使小球的重力势能与动能之间交替转化，满足机械能守恒定律的条件。

细绳的张力（其属性为弹力）是指向圆心的，与小球运动的圆周切线方向是垂直的，因此这个力不做功。

2．本题是一个变速圆周运动问题，在解题时主要运用圆周运动的向心力规律和机械能守恒定律。

此外，“受力分析”在解题中也很重要。

3．本题给出的已知量只有一个——小球的质量m ，因此可以预言出本题的答案的基本形式应当是T 1- T 2 =nmg 。

至于n 是整数还是分数？n 的具体数值是多少？那就需要通过求解才能获得答案。

（题中虽未给出重力加速度g ，但这公认是已知的）求解过程：如图5-25所示：小球过最低点时，细绳的张力T 1方向向上（它与重力之差T 1-mg 是供小球运动的向心力），设此时小球速度的大小为v 1；小球过最高点时，细绳的张力T 2方向向下（绳是软的，只可能有向下的拉力，不可能有向上的支撑力。

它与重力之和T 2+mg 是供小球运动的向心力），设此时小球速度的大小为v 2。

设小球做圆周运动的半径为R 。

根据上面的受力分析，运用圆周运动的向心力公式可以写出下列二式：图5-25R v m mg T 211=- ① R v m mg T 222=-② 将①、②两式相减可得 R v m R v m mg T T 2221212-=--上式可以变化为：R v v m mg T T 2221212-+=- ③若以小球运动通过的最低点处定为重力势能的零点，则小球过最高点时的重力势能mgh=mg ·2R ，则据机械能守恒定律可以列出下式：R mg v m v m 2210212221⋅+=+ ④消去 式中的m ，并在等式两边乘2，则可以写出下式：gR v v 42221+= 由上式可以导出：g R v v 42221=+ ⑤ 将式代入式：T 1-T 2=2mg +m ·4g=6mg答案：T 1-T 2=6mg解题后的思考：1．若不附加其它条件，你能求出T 1和T 2单独的数值吗？（提示：T 1、T 2的大小与v 1、v 2的大小有关。

）2．若本题中给出：当小球通过最高点时绳子的张力T 2=0。

则小球通过最低点时绳子的张力T 1=？（提示：T 1=6mg 。

建议：不要据T 1-T 2=6mg 直接得出答案，最好通过受力分析再列出一个新的②式，然后求出T 2，这样有益于复习和提高。

）思维体操例题3 如图5-26所示：一条均匀的绳子，上端用手拉住放在光滑的水平桌面上，绳子的全长为l ，在桌边下垂的长度为a ，（桌面上的长度为l-a ）。

若由此状态松手，让绳子自由滑下，求绳子全部离开桌面瞬间的即时速度v=?（注：不计空气阻力和摩擦力。

桌腿较长，当绳子全部离开桌面的瞬间，绳子的下端尚未触地。

）“准备活动”（解题所需的知识与技能）：1．本题中绳子滑下的过程也不垂段连续增长的过程，而下垂段所受的重力又是使全绳加速的动力，因此这是一个在变力作用下的非匀变速运动问题，不宜采用牛顿定律求解。