一．【要点归纳】
1．多面体的面积和体积公式
表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。

2．旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径 二．【典例解析】
题型1：柱体的体积和表面积
例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的
名称 侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 体 积(V) 棱 柱 棱柱 直截面周长×l
S 侧+2S 底
S 底·h=S 直截面·h
直棱柱 ch
S 底·h
棱 锥 棱锥 各侧面积之和
S 侧+S 底
3
1
S 底·h 正棱锥 2
1
ch ′ 棱 台
棱台 各侧面面积之和
S 侧+S 上底+S 下底
3
1
h(S 上底+S 下底+下底下底S S )
正棱台
2
1
(c+c ′)h ′ 名称 圆柱 圆锥 圆台 球
S 侧 2πrl πrl π(r 1+r 2)l
S 全 2πr(l+r) πr(l+r)
π(r 1+r 2)l+π(r 21+r 22)
4πR 2
V
πr 2
h(即πr 2
l)
3
1
πr 2h 3
1
πh(r 21+r 1r 2+r 22) 3
4
πR 3
表面积多被考察。

我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=
3
π。

（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积
题型2：柱体的表面积、体积综合问题
例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23
B ．32
C ．6
D ．6
点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

例4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。

最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型3：锥体的体积和表面积
例5．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.223π+
B. 423π+
C. 323π+
D. 23
43
π+
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,
由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.
例6、设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。

若圆C 的面积等于
4
7π
，则球O 的表面积等于 例7．ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在
2 2
侧(左)视
2 2
正(主)
D
B
A
O C
E
F
的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFC 的距离
点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。

构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

例8．已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是______.
例11．如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相
垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。

点评：本题也可用补形法求解。

将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=2
3
a ,下略 题型4：球的面积、体积综合问题
例9．（1）表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。

（2）正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积。

题型5：球面距离问题
例10．在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B 两点的劣弧长为2
4
R π（R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离
点评：要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。