圆与方程1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2. 点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内d ＜r ； b.点在圆上d=r ； c.点在圆外d ＞r(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ （3）涉及最值：① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4. 直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 5. 两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； ⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C：22111x y D x E y F++++=，圆2C：22222x y D x E y F++++=，则()()()121212D D xE E yF F-+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：①若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；②若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C：22111x y D x E y F++++=和2C：22222x y D x E y F++++=交点的圆系方程为()2222111222x y D x E y F x y D x E y Fλ+++++++++=（1λ≠-）补充：①上述圆系不包括2C；②2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③过直线0Ax By C++=与圆220x y Dx Ey F++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By Cλ+++++++=6. 过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(21111RxakybRxxkyy求解k，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+. 例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。
7．切点弦(1)过⊙C ：222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为B A 、，则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--8. 切线长：若圆的方程为(x -a )2(y -b )2=r 2，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为d =22020b)(+)(r y a x ---．9. 圆心的三个重要几何性质：① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C 1：x 2+y 2—2x =0和圆C 2：x 2+y 2+4 y =0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。
一、求圆的方程例1 (06重庆卷文)以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( )(A))12,0(-(B))12,12(+- (C))12,12(+--(D))12,0(+三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .五、夹角问题例5 (06全国卷一文)从圆012222=+-+-y y x x外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)21(B)53(C)23(D) 0六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .七、最值问题 例7 (06湖南卷文)圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18(C)26(D)25八、综合问题例8 (06湖南卷理)若圆0104422=---+y x y x上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的斜率k 取值范围_______________圆的方程1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1<t <71 B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 2. 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.3.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则（） A.D +E =0B. B.D +F =0 C.E +F =0D.D +E +F =04.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D .4条 5.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.6.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值； （3）x 2+y 2的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系 例1． 求经过两已知圆：06422=--+x y x和06422=--+y y x 的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。
例2． 设圆方程为：016448)4012()42()4()4(22=--+++++++λλλλλy x y x 其中λ≠－4求证： 不论λ为何值，所给圆必经过两个定点。
直线与圆的位置关系例1：求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程；(1) 经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-直线和圆1．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求光线L 所在直线方程．2.求圆心在直线x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=，22x y +2280x y ++-=交点的圆的方程．3. （2002北京文，16）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为． 弦长【例题】 已知直线l ∶x+2y-2=0与圆C ∶x 2+y 2=2相交于A 、B 两点，求弦长AB.。