版权所有，翻版必究~第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。
计算X 。
解：S = 1000s 20¬p7%+Xs 10¬p7%X =50000 − 1000s 20¬p7% s 10¬p7%=2．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解： 设首次付款为X ，则有10000 = X + 250a 48¬%解得X =3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1。
试计算该年金的现值。
解：P V = na¬n pi1 − v nn= n 1n=(n + 1)nn 2− n n+2 (n + 1)n4．已知：a¬n p= X ，a 2¬np = Y。
试用X 和Y 表示d 。
解： a 2¬n p= a¬np + a¬n p(1 − d)n则Y − Xd = 1 − ( X )5．已知：a¬7p= , a 11¬p= , a 18¬p= 。
计算i 。
解：a 18¬p = a¬7p + a 11¬p v 7解得6.证明：1 1−v=si = %¬+a¬。
s¬北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究证明：s 10¬p + a ∞¬p(1+i)−1+11 s 10¬p=i (1+i)−1ii= 1 − v 107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。
解：P V = 100a¬8p3% + 100a 20¬p 3% =8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日1000¨25¬p8%=X¨15¬p7%解得9．已知贴现率为10%，计算¨¬8p。
X =解： d = 10%，则 i =110.求证： (1) ¨¬np = a¬np + 1 −v n；1−d− 1 =19¨¬= (1 + i)1 − v 8i= (2) ¨¬np = s¬ −np 1 + (1 + i)n并给出两等式的实际解释。
证明： (1)¨¬np =1−dv =1−v =1−vi+ 1− v n所以(2)¨¬np =(1+i)−1¨¬np = a¬np + 1 − v n(1+i )−1=(1+i)−1n− 1=di + (1 + i)所以¨¬= s¬ −n p 1 + (1 + i)nn p版权所有，翻版必究12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。
解：P V = 100a 49¬%− 100a¬% = AV = 100s 49¬%− 100s¬%=13.现有价值相等的两种期末年金A 和B 。
年金A 在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金 额为Y ，在第11－20年中没有。
已知：v 10=1，计算Y 。
解： 因两种年金价值相等，则有2a 30¬pi +a 10¬pi v 10=Y a 30¬ −pi Y a 10¬pi v 10所以 Y =3−v−2v1+v−2v=14.已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。
计算i 。
解： 由题意知，2a 2¬npi + 3a¬npi = 362a¬npi v n = 6解得a¬7pa¬3p + s X¬pi = %15.已知a 11¬p = a Y¬p + s Z¬p 。
求X ，Y 和Z 。
解： 由题意得解得 1 − v 71 − v 11=(1 + i)X− v 3(1 + i)Z − v Y16.化简a 15¬p (1 + v 15+ v 30)。
解：X = 4, Y = 7, Z = 4a 15¬p (1 + v 15+ v 30) = a 45¬p北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页版权所有，翻版必究17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。
解：年金在4月1日的价值为P=1+%%×2000 = ，则P V =P (1 + i)2+=18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i，写出递延时间的表达式。
解：设递延时间为t，有1解得t = −ln(1+ln iP i)P =i v t19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。
计算X。
解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有X1000¨ 20¬pi=i v29解得X = 1000((1 + i)30− (1 + i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相同。
计算(1 + i)n。
解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为i3a¬n pi，而D得到遗产的现值为v n。
由题意得所以1 − v n3(1 + i)= 4= v n21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。
已知：C与A的份额之比为，求B与D的份额之比。
版权所有，翻版必究解：由题意知那么P V CP V AP V B==a¬n pv2na¬n pa¬n pv n13n== P V i v元年利率%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
100a¬%v4<1000解：100a n+1¬%v4>1000解得n = 17列价值方程解得100a16¬%+Xv21 = 1000 X =年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。
如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。
解：两年金现值相等，则 4 × a36¬p i= 5× 18，可知v18=由题意，(1 + i)n= 2 解得n = 924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。
已知月结算名利率为12%，计算k。
解：由题意可得方程100a60¬p1% = 6000(1 + i)−k解得25.已知a¬2pi= ，求i。
解：由题意得解得k = 291 − v2=i = %26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解：版权所有，翻版必究27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。
已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K 。
解：由题意可得价值方程10000 = 105Ka¬2p4%v3+Ka¬2p4% + 10000v10则K = 10000−10000v105a¬v+a¬v=28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程P (1 + i)= X + 2Xa¬4pi+ 2Xa¬5pj (1 + i)−4所以P (1 + i)X =1 + 2a¬4pi+ 2a¬5pj (1 + i)−429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。
解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。
已知年利率为12%。
（缺命令）解：P V = 4 × 400 + 4 × 600v5=31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。
解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：P V =1s¬4pia24¬p i v3=(1 +i)24− 1(1 + i)27[(1 + i)4 − 1]=a28¬ −p a¬4ps¬3p + s¬1p北京大学数学科学学院金融数学系第 6 页版权所有，翻版必究元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解：设年实利率为i，则(1 + 2%)2= 1 + i。
有题意得750 i +750s20¬pi i=Ra30¬pi解得R =34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解：由题意知解得i = 20%1is¬3pi=1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。
解：由题意得解得R = 20 =1d=Ra¬2pi i36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。