BD＝
CD tanB
＝50
3 ，则AB＝AD＋BD＝150
3 ＋50
3＝
200 3.
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9．如图25－4，直线y＝－ 3 x＋ 3 与坐标轴交于A、B两点，求 AB的长和∠OAB的大小．
图25－4 解： 直线与坐标轴的交点分别为A(1,0)，B(0, 3 )，则OA＝1， OB＝ 3 ，由勾股定理，AB＝ OA2＋OB2 ＝ 12＋ 32 ＝2， tan∠OAB＝OOAB＝ 13＝ 3.所以∠OAB＝60°.
图 25－5
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考点随堂练
解： 过P作PD⊥AB，垂足为D，则AB＝AD＋BD，在 Rt△ADP中，∠A＝60°，∠APD＝30°，且PA＝100 米， 所以AD＝50 米．在Rt△BDP中，∠B＝∠DPB＝45°， 所以DB＝DP，而DP＝ 1002－502＝50 3， 所以AB＝50＋50 3≈136.6(米)．
(1)
(2)
图 25－1
A.1
B. 3
C．1
D.3
[解2析] 根据题意，两2 张相同的这种纸片恰好能拼成2一个正三
角形，可知∠B＝60°，则sinB＝
3 2.
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4．在直角三角形ABC中，
S△ABC＝96,
∠C＝90°，
sinA＝
3 5
，
求△ABC的三边长．
解： ∵Rt△ABC的面积为96, 则12AC·BC＝96. ∵sinA＝35，∴可设BC＝3x，AB＝5x, 则AC＝4x, ∴12×3x·4x＝96，x＝4, 即AC＝16，BC＝12，AB＝20.
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11．如图 25－6，一艘舰艇在海面下 500 米 A 点处测得俯角为 30° 前下方的海底 C 处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行 4000 米后再次在 B 点处测得俯角为 60°前下方的海底 C 处有黑匣 子信号发出，求海底黑匣子 C 点距离海面的深度．(结果保留根 号)
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10．五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践 活动，在景点 P 处测得景点 B 位于南偏东 45°方向，然后沿北偏 东 60°方向走 100 米到达景点 A，此时测得景点 B 正好位于景点 A 的正南方向，求景点 A 与景点 B 之间的距离．(结果精确到 0.1 米)
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7．一段公路路面的坡度i＝
1 3
，这段公路路面长100米，那么这
段公路升高( D )
A．30米
B．10米
C．30 10 米
D．10 10 米
[解析] 设公路升高x米，则水平距离为3x米，根据勾股定 理，x2＋(3x)2＝1002，解得x＝10 10(米)．
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8．如图 25－3，从热气球 C 上测定建筑物
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考点2 特殊角的三角函数值
在几何里，我们把锐角30°、45°、60°称为特殊角，这些角的三 角函数值，要求记忆：
锐角α三角 函数
30°
sinα
1 2
cosα
3
___2___
tanα
3 3
45°
2 __2____
2 2
1
60°
3 2 1 2
3 ______
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3.计算 2tan45°的结果等于( A )
角三角函数
ห้องสมุดไป่ตู้锐角三角函数
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考点1 锐角三角函数
a
b
c
c
b
a
c
c
a
b
b
a
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1．已知：如图24－1，AB是⊙O的直径，弦AD、 BC相交于P点，那么DACB的值为( B ) A．sin∠APC B．cos∠APC C．tan∠APC
1 D.tan∠APC
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类示例
图25－2
[解析] 设过点A的水平线与CD交于点E，分别在两个直角三角
形中利用三角函数求解．
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解：设过点 A 的水平线与 CD 交于点 E，由题意 得∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝60°，∠DAE＝45°， AE＝BD＝30 m，
∴CD＝CE＋DE＝AE·tan60°＋AE·tan45°＝(30 3 ＋30)(m)．
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归类示例
(1)利用三角函数解直角三角形常见问题有：已知斜边和一 个锐角；已知一直角边和一个锐角；已知斜边和一直角边；已知
两条直角边 a、b.(2)作三角形的高，将非直角三角形转化为直角
三角形，是常用的方法．
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解直角三角形及其应用
第25讲 解直角三角形及其应用
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考点1 解直角三角形的基本关系
边的关系 角的关系 边角关系
面积 易错点
勾股定理：a2＋b2＝c2. ∠A＋∠B＝90°.
正弦
a
b
sinA＝___c___， sinB＝___c___.
余弦
b
a
cosA＝___c___，cosB＝___c___.
正切
a
b
tanA＝___b___，tanB＝___a___.
2 2
＝0，则sinA－
2 2
＝0,2cosB－
2 ＝0，则sinA＝
2 2
，则∠A＝
45°；cosB＝ 22，则∠B＝45°，则∠C＝90°，所以△ABC为等
腰直角三角形．
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考点3 锐角三角函数之间的关系
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5．如果△ABC 中，sinA＝cosB＝ 22，则下列最确切的结论是(
边的比叫做∠A 的余切，记作 cotA ＝b.则 a
下列关系式中D不．成．立．的是( )
A．t a nA ·cotA ＝1
B．sin A ＝t a n A ·cosA
C ．cosA ＝cotA ·sin A
D．t a n2A ＋cot2A ＝1
图 24－3
[解析] tan2A＋cot2A＝ba2＋ba2＝ba22＋ba22＝a4a＋2bb2 4≠1.
图 25－6
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解：作CF⊥AB于F，则tan30°＝CAFF，tan60°＝CBFF， ∴AF＝taCn3F0°＝ 3CF，BF＝taCn6F0°＝ 33CF， ∵AF－BF＝AB＝4000 ， ∴ 3CF－ 33CF＝4000 ，∴CF＝2000 3 ， ∴海底黑匣子C点距离海面的深度为(500＋2000 3)米．
)
A．△AB CC 是直角三角形
B．△ABC 是等腰三角形
C．△ABC 是等腰直角三角形
D．△ABC 是锐角三角形
[解析] sinA＝cosB，知∠A＋∠B＝90°，sinA＝cosB＝ 22，所以 ∠A＝∠B＝45°.
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6．如图 24－3，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A 的邻边与对
图 25－7
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解： 由题意可知，在Rt△ABC中，AB＝500米， ∠ACB＝90°－60°＝30°，
∵tan∠ACB＝ABCB， ∴BC＝tan∠ABACB＝ta5n0300°＝500 3(米)， ∴该军舰行驶的路程为500 3米．
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归类示例 归类示例
类型之一 利用直角三角形解决和高度有关的问题
命题角度： 1．计算某些大型建筑物的高度 2．将实际问题转化为直角三角形问题
[2011·淮安] 图 25－2(1)为平地上一幢建筑物与铁塔图， 图 25－2(2)为其示意图．建筑物 AB 与铁塔 CD 都垂直于底面，BD＝30 m， 在 A 点测得 D 点的俯角为 45°，测得 C 点的仰角为 60°.求铁塔 CD 的 高度．
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5．在△ABC中，∠C＝90°，已知：c＝8 3，∠A＝60°， 求∠B、a、b.
解： ∠B＝90°－60°＝30°，sinA＝ac， 则sin60°＝8a3，所以a＝sin60°×8 3＝12，
根据勾股定理b＝ c2－a2＝ 8 32－122＝4 3.
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a、b、c，则下列关系式正确的是( C )
A．c＝asinA
B．c＝acosA
C．c＝sinaA
D．c＝coasA
[解析] 因为sinA＝ac，所以c＝sinaA.
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考点随堂练
3 如图 25－1(1)是一张 Rt△ABC 纸片，如果用两张相同的这种 纸片恰好能拼成一个正三角形B ，如图(2)，那么在 Rt△ABC 中，sinB 的值是( )
A、B 底部的俯角分别为 30°和 60°，如果
这时气球的高度 CD 为 150 米，且点 A、D、
B 在同一直线上，建筑物 A、B 间的距离为
()
C
A．150 3 米 B．180 3 米
C．200 3 米 D．220 3 米
图 25－3
[解析]由题意得∠A＝30°，∠B＝60°，AD＝taCnDA＝150 3，
D.
2 4
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解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给 的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长，依据三角 函数的定义进行求解．
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例
类型之二 特殊锐角的三角函数值的应用
命题角度： 1．30°、45°、60°的三角函数值 2．已知特殊三角函数值，求角度
已知α是锐角，且 sin(α＋15°)＝ 3.计算 2
S△ABC＝12ab＝12chc，hc为斜边上的高．