9-2 已知非线性系统的微分方程为 (1) 320x x x ++= (2) 0x xx x ++= (3)0x x x ++=(4)2(1)0x x x x --+=试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。
解 (1) 奇点(0, 0)。
特征方程为2320λλ++=两个特征根为1,21, 2λ=--平衡点(0, 0)为稳定节点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(2) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为0x x +=其特征方程为210λ+=两个特征根为1,2j λ=±1平衡点(0, 0)为中心点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(3) 奇点(0, 0)。
原方程可改写为0000x x x x x x x x ++=≥⎧⎨+-=<⎩ 其特征方程、特征根和类型为21,221,2100.50.866 10 1.618, 0.618 j λλλλλλ⎧++==-±⎪⎨+-==-⎪⎩稳定焦点鞍点 在奇点附近的概略相轨迹图：(4) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型2 为0x x x -+=其特征方程为210λλ-+=两个特征根为1,20.50.866j λ=±平衡点(0, 0)为不稳定焦点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x9-6 非线性系统的结构图如图9-51所示，其中0.2a =，0.2b =，4K =，1T s =。
试分别画出输入信号取下列函数时在e -e 平面上系统的相平面图（设系统原处于静止状态）。
(1) () 2 1()r t t =(2)() 2 1()0.4r t t t =-+(3)() 2 1()0.8r t t t =-+(4)() 2 1() 1.2r t t t =-+图9-51 题9-6图解：由系统结构图可得4c c u +=。
由于e r c =-，那么4e e u r r ++=+。
3其中0.20.20.20.20.20.2e u e e e >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩系统原处于静止状态，即(0)(0)0c c ==。
1、r (t )=2×1(t )初始状态(0)(0)(0)2e r c =-=，(0)(0)(0)0e r c =-=。
系统运动方程0.800.21400.20.220.800.23e e e e e e e e e e ++=>⎧⎪++=-≤≤⎨⎪+-=<-⎩区区区 奇点：1区和3区没有奇点。
2区的奇点位置(0，0)，可判定其为稳定焦点。
由于根据2区的运动方程求出的奇点在2区内，该奇点为实奇点，故系统的相轨迹必稳定在该实奇点上。
渐近线： 1区0.8e =-；2区没有渐近线；3区0.8e =。
相轨迹的斜率：1区0.81e β=-+，2区41e e β=--，3区0.81eβ=--。
1区与3区的相轨迹具有中心对称性。
相轨迹大致形状如图所示。
42、r (t )=-2×1(t )+0.4t初始状态(0)(0)(0)2e r c =-=-，(0)(0)(0)0.4e r c =-=。
系统运动方程0.400.2140.40.20.221.200.23e e e e e e e e e e ++=>⎧⎪++=-≤≤⎨⎪+-=<-⎩区区区 奇点：1区和3区没有奇点。
2区的奇点位置(0.1，0)，可判定其为稳定焦点。
由于根据2区的运动方程求出的奇点在2区内，该奇点为实奇点，故系统的相轨迹必稳定在该实奇点上。
渐近线： 1区0.4e =-；2区没有渐近线；3区 1.2e =。
相轨迹的斜率：1区0.41e β=--，2区40.41e e β-=--，3区 1.21eβ=-+。
相轨迹大致形状如图所示。
53、r (t )=-2×1(t )+0.8t初始状态(0)(0)(0)2e r c =-=-，(0)(0)(0)0.8e r c =-=。
系统运动方程0.2140.80.20.221.600.23e e e e e e e e e e +=>⎧⎪++=-≤≤⎨⎪+-=<-⎩区区区 奇点和奇线：1区0e =为奇线。
2区的奇点位置(0.2，0)，可判定为稳定焦点。
3区没有奇点。
由于根据2区的运动方程求出的奇点在2区内，该奇点为实奇点，而根据1区的运动方程求出的奇线上的点全为1区内的实奇点，故系统的相轨迹必稳定在0e =且0.2e ≥的奇线上。
渐近线： 1区和2区没有渐近线；3区 1.6e =。
相轨迹的斜率：1区1β=-，2区40.81e e β-=--，3区 1.61eβ=-+。
6 相轨迹大致形状如图所示。
4、r (t )=-2×1(t )+1.2t初始状态(0)(0)(0)2e r c =-=-，(0)(0)(0) 1.2e r c =-=。
系统运动方程0.400.214 1.20.20.22200.23e e e e e e e e e e +-=>⎧⎪++=-≤≤⎨⎪+-=<-⎩区区区 奇点：1区和3区没有奇点。
2区的奇点位置(0.3，0)，可判定为稳定焦点。
由于根据2区的运动方程求出的奇点不在2区内，该奇点为虚奇点，而系统的相轨迹不会稳定在该虚奇点上。
渐近线： 1区0.4e =；2区没有渐近线；3区2e =。
相轨迹的斜率：1区0.41e β=-+，2区4 1.21e e β-=--，3区21eβ=-+。
71区与3区的相轨迹具有中心对称性。
相轨迹大致形状如图所示。
9-8 试用相平面法分析图9-53所示系统在0β=、0β<及0β>三种情况下相轨迹的特点。
（设()0r t =，试在c c -相平面上绘制绘制系统在0β=，0β<及0β>三种情况下的相轨迹。
）图9-53 题9-8图解：采用积分法求出相轨迹方程。
令0)(=t r ，由系统结构图可知⎩⎨⎧>+-<+=00cc M cc M c ββ，可见0=+c c β是开关线。
8 积分可得 0,212<++=cc A Mc cβ 相轨迹是开口向右的抛物线0,222>++-=cc A Mc cβ 相轨迹是开口向左的抛物线0=β，开关线是c轴，相轨迹如图(a )所示，是封闭曲线族。
0<β，相轨迹如图(b )所示，系统不稳定。
0>β，相轨迹如图(c )所示，系统稳定。
9-10 将图9-54所示非线性系统简化成典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。
(a )c(b )cc9图9-54 题9-10图(c)(a)(b)解：(a) 线性部分的传递函数0()()1()()G s G s G s H s =+(b) 线性部分的传递函数0()()[1()]G s G s H s =+ (c) 线性部分的传递函数0()()()1()G s H s G s Gs =+简化后的非线性系统典型结构图：(c)(a)(b)9-12 各系统的()G j ω和1/()N A -曲线如图9-56所示，P 为()G s 的右极点个数，ν为()G s 的积分环节个数。
试判断各系统的稳定性，并判断()G j ω和1/()N A -曲线的交点是否为自振点。
1112P ==01G (a)(b)(c)(d)(e)(f)图9-56 题9-12图解：(a) P=0，a 点和c 点是1()N A -曲线穿出包围区进入到稳定区的交点，是自振点。
b 点是1()N A -曲线由稳定区穿入不稳定区（包围区）的交点，不是自振点。
(b) P=0，a 点是1()N A -曲线由不稳定区（包围区）穿出到稳定区的交点，是自振点。
(c) P=0，a 点是1()N A -曲线由不稳定区（包围区）穿出到稳定区的交点，是自振点。
(d) P=0，b 点是1()N A -曲线穿出包围区进入到稳定区的交点，是自振点。
a 点是1()N A -曲线由稳定区穿入不稳定区（包围区）的交点，不是自振点。
(e) P=2，1()N A -曲线被()G j ω曲线反时针包围12P=次的区域为稳定区。
1()N A -曲线由稳定区穿出进入不稳定区，交点a 的等幅振荡无法持续，a 不是自振点。
(f) P=1，1()N A -曲线被()G j ω曲线反时针包围122P =次的区域为稳定区。
1()N A -曲线由不稳定区穿入稳定区，交点a 是自振点。
9-13 非线性系统如图9-57所示，试确定系统的自振振幅和频率。
图9-57 题9-13图线性部分的频率特性()G j ω=1()N A -曲线与()G j ωRe在1()N A -曲线与()G j ω曲线的交点处 11() ()()()G j N A N A G j ωω-=⇒=- 即 40(1)(2)j j j Aωωωπ++=-由上式两端的实部和虚部分别相等可解得频率ω=，振幅A =20/2π=2.12 。
自激振荡的振幅为2.12，即在非线性环节的输入端存在近似为的持续振荡。
9-14 非线性系统如图9-58所示，试确定系统的自振振幅和频率。
图9-58 题9-14图解：典型化后的非线性系统结构图死区继电特性的描述函数为()()N A A a ≥当A a →时，1()N A -→-∞；当A →∞时， 1()N A -→-∞。
当a A 1()N A -取最大值且1max ()4N A π⎡⎤-==-⎢⎥⎣⎦。
而线性部分的频率特性210()(1)G j j j ωωω=+。
由1()()G j N A ω-=，得频率1ω=，[]1Re ()5G j ωω==-表明1()N A -曲线与()G j ω曲线的相交，在交点处，振幅A =12.7，0.5（舍去） 。
自激振荡的振幅为12.7，频率为1，即在非线性环节的输入端存在近似为12.7sin t 的持续振荡。
图（略）。