1
2 自然数幂次方和的另一组公式
3
摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任
4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给
5 出了相应的系数完整表达式。

这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数
6 至今仍是递推公式表达。

7 8
9 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而
10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出
11 来。

12
假设自然数幂次方和可以写成以下形式
13
∑∑=++===p
k k n k n
k p n C A k S 1
111。

（1）
14
那么同理可应有：
15
∑∑=++--=-==p
k k n k n k p n C A k S 1
11)1(1
1
1
16 那么：
17
∑∑=+=++--=-=p
k k n k p
k k n k n n p C A C A S S n 1
1
1
11
1 18
[
]∑∑==+++=-=p
k k n k p
k k n
k n k p
C
A C
C
A n 1
1
111
19
20
∑==
p
k k
n k p C A n 1
21 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中：
23
)1).....(1(k n n n C k
n -+-=
24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。

25
分别令n=1,2,3， 。

p-1时就有：
26
01
1
1
1
+=+
==∑∑∑∑=+===t
k k
t k p
t k k
t
k t
k k t
k p
k k
t
k p
C A C A C A C A t
27
∑==t
k k
t k p
C A t 1
)1...3,2,1(-=p t 。

28 （2)
29
∑-=-=1
1t k k t k p
t C A t A )1...3,2,1(-=p t。

30 （3）
31
这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。

34
其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下35 面给出这个结论。

36
引理：i t i t i
t i
k i k i k k t C C C --=---=-∑)1()1( 。

（4）
37
38 证明：令：∑-=-----=-=i
t j j i t j i t j i
t C x x x f 0
)1()
1()(
39
∑-=--=
=i
t j j
i
t j
C
f 0
)1(0)1(
40
令k=i+j 的，则j=k-i ，同时两边分别乘以i t C ，那么
41
i
k t
i
k t
i
k i k i t i t i k i k i t C C C -==------=-=∑∑)1()1(0 。

（5）
42
因为有：
43
k t
i k i t i t i k i
k k t i t i t i k C C C C i i k k t t i k i k k t k t C C i k t i k t i t i t k t i k i t C C =--=--=--=
----=
----所以：!
)!()!(!)!(!!)!(!!!)!()!(!
)!(!!)!()!()!(
44
45 因此（5）式可以变换为：
46
i t i t t i
k i k k t i k t i
k i
k k t
i k
i t
i
t t i
k i
k k t i k i t i t t i
k i
k k t i k i t
i
t t i
k t
i
k i
k k t i k i k i k i t i t C C C C C C C C C C C C C C C C --=--=---=---=--==------=--+-=-+-=-+-=-=-=∑∑∑∑∑∑)1()1()
1()1(0)1()1(0)1()1(0)1()1(01
1
1
1
47 证毕。

48
定理：
∑=-•-=k
i p i k i k k i C A 1
)1(
49
)1...3,2,1(-=p k 。

（6）
50
证明：（1）当k=1时，由（3）式得1=k A ，代入定理公式中，可知结论成立。

51
（2）假设当k<t 时，结论均成立，那么由（4）式知：
52
∑∑∑∑∑-=-=--==--=--=•--=-=11
1
1
11
1
1
)1()1(t i t i
k i k i k k t p
p
t k k
i p i k i k k
t
p
t k k
t k p t C C i
t i C C
t C A t A
53 由引理（4）式可知：
54
∑∑∑=--=--=+-•-=•-+=-•-=t
i p
i t i t t t i p
i t i t p t i i t i t p p
k i C A i C t C i t A 1
1
1
1
1
1
)1()1()1(
55 即结论对于k=t 也是成立的。

（证毕）
56
备注；【1】/21285536?ptlang=2052
57。