1.3 三角函数的诱导公式(第一课时)[教材研读]预习课本P23～26，思考以下问题1．给定一个角α，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？2．给定一个角α，则角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？3．给定一个角α，则角π－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？[要点梳理]1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如右图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如右图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sinα.cos(－α)＝cosα.tan(－α)＝－tanα.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称． 如右图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin α. cos(π－α)＝－cos α. tan(π－α)＝－tan α.4．α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．诱导公式中角α是任意角. ( )2．公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) 3．公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立．( ) [★答案★] 1.× 2.× 3.√题型一 给角求值问题思考：sin30°＝________，cos30°＝________ sin45°＝________，cos45°＝________ sin60°＝________，cos60°＝________ sin90°＝________，cos90°＝________ 提示：12 32 22 22 32 12 1 0求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos 119π6.[思路导引] 利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角(一般为特殊角)的三角函数．[解] (1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°) ＝tan225°＝tan(180°＋45°) ＝tan45°＝1.(3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【温馨提示】 明确各诱导公式的作用求sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°的值． [解] sin585°cos1290°＋cos(－30°)·sin210°＋tan135°＝sin(360°＋225°)·cos(3×360°＋210°)＋cos30°sin210°＋tan(180°－45°)＝sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos30°·sin(180°＋30°)－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°·sin30°－tan45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二 化简求值问题思考：化简cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________.提示：原式＝cos α·tan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α ＝cos α·sin αcos αsin α＝sin αsin α＝1. 故原式＝1.化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.[思路导引] 利用诱导公式一～四化简． [解] (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70° ＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. [跟踪训练] 化简下列各式．(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)；(2)cos190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). [解] (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin30°－tan45° ＝12.题型三 给值(或式)求值问题思考：α－75°、105°＋α与特殊角有什么关系？能否通过诱导公式寻求α－75°与105°＋α的三角函数值之间的联系？提示：105°＋α＝180°＋(α－75°)．可通过诱导公式二寻求联系．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值． [思路导引] 要寻找已知角与未知角之间的联系，然后采用诱导公式使未知角的三角函数用已知角的三角函数表示，从而得出结论．[解] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.[变式] 在本例条件下，求： (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值；(2)sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值． [解] (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6＝33.(2)∵sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23故sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝23.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．[跟踪训练](1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1 B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)的值为________．[解析] (1)∵cos(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β) ＝－sin β＝－13.(2)∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．∴sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.[★答案★] (1)D (2)223课堂归纳小结1．本节课的重点是诱导公式二、三、四，难点是诱导公式的应用．2．要掌握诱导公式的三个应用(1)给角求值问题，见典例1；(2)化简求值问题，见典例2；(3)给值(式)求值问题，见典例3.3．本节课要牢记诱导公式的内容(1)诱导公式二、三、四可以概括成：f (π＋α)＝±f (α)，f (－α)＝±f (α)，f (π－α)＝±f (α)，其中等号右边的“±”号只取其一，规律口诀是“函数名不变，符号看象限”．例如sin(π＋α)＝－sin α，就是正弦函数名不改变，而α看成是锐角，则π＋α为第三象限角，第三象限角的正弦为负，故符号取“－”．(2)上述诱导公式都是为了化任意角成锐角α的，如果α为其他范围的角也都成立。