又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立． 由归纳法原理，对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证．
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x)与 g( x)相等，记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
j0
加法： 若 n m, 在 g( x) 中令
bn bn1 L bm1 0
f ( x)g( x) 的首项系数 f ( x) 的首项系数× g( x)的首项系数.
3) 运算律 f (x) g(x) g(x) f (x) ( f ( x) g( x)) h( x) f ( x) ( g( x) h( x)) f (x)g(x) g(x) f (x) ( f ( x)g( x))h( x) f ( x)(g( x)h( x))
f ( x)(g( x) h( x)) f ( x)g( x) f ( x)h( x)
f ( x)g( x) f ( x)h( x), f ( x) 0 g( x) h( x)
9
例1 设 f ( x), g( x),h( x) R( x) (1) 证明: 若 f 2( x) xg2( x) xh2( x), 则
注： 多项式 f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 中，
① ai xi 称为i次项，ai 称为i次项系数． ② 若 an 0, 则称 an xn 为 f ( x)的首项，an 为首项 系数，n 称为多项式 f ( x) 的次数，记作( f ( x))=n.
高等代数
中南大学数学院 高等代数课题组
一、一元多项式的定义 二、多项式环
一、一元多项式的定义 1．定义 设 x是一个符号（或称文字），n 是一
个非负整数，形式表达式 an xn an1 xn1 L a1 x a0
其中 a0 ,a1, an P, 称为数域P上的一元多项式． 常用 f ( x), g( x),h( x) 等表示．
所以 q x q x, 从而 r x=r x.
唯一性得证．
例1．求 g x 除 f x的商式和余式
f x 2x5 5x3 8x, g x x2 x 2
§1.3 整除的概念
附： 综合除法
若 f ( x) a0 xn + a1xn-1 + L + an , 则 x a 除 f ( x) 的商式 q( x) b0 xn1 bn1 和余式 r 可按下列计算格式求得：
若q x q x，由g x 0, 有r x－r x 0
q x－q x＋ g x＝ r x－r x max r , r gx
但 q x－q x＋ g x g x, 矛盾．
则称 g( x)整除 f ( x), 记作 g( x) | f ( x). ① g( x) | f ( x)时， 称 g( x)为 f ( x)的因式，f ( x)
为 g( x)的倍式． ② g( x)不能整除 f ( x) 时记作： g( x) | f ( x).
③ 允许 g( x) 0，此时有 0 0h( x), h( x) P[x]
f ( x) q( x)g( x) r( x), 结论成立． 下面讨论 n m 的情形，对 n作数学归纳法． 次数为０时结论显然成立．
假设对次数小于n的 f ( x)，结论已成立．
现在来看次数为n的情形．
设 f ( x)的首项为 axn , g( x)的首项为 bxm , (n m)
则 b1axnm g x 与 f ( x)首项相同， 因而，多项式 f1( x)= f ( x)- b- 1axn-mg x
的次数小于n或 f1为0．
若 f1 x = 0, 令 q( x) b1axnm ,r( x) 0 即可．
若 f1 x n, 由归纳假设，存在 q1( x),r1( x)
① 求一次多项式 x a 去除 f x的商式及余式． ② 把 f x 表成 x a 的方幂和，即表成
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2．求 g x 除 f x的商式和余式
f x x3 x2 x, g x x 1 2i
nm

(aibj )xi
s1 i js
注: f ( x)g( x) 中s 次项的系数为
asbo as1b1 a1bs1 a0bs aibj .
i js
4．多项式运算性质
1) f ( x)g( x) 为数域 P上任意两个多项式，则 f ( x) g( x), f ( x)g( x) 仍为数域 P上的多项式．
f ( x)=g( x) h( x) 0 (2) 在复数域上(1)是否成立？
(1) 证：若 f ( x) 0, 则 x(g2( x) h2( x)) f 2( x) 0,
从而 g2( x) h2( x) 0. 于是 ( xg2( x) xh2( x)) ( x(g2( x) h2( x)))为奇数. 但 ( f 2( x))为偶数. x(g2( x) h2( x)) f 2( x), 这与已知矛盾. 故 f ( x) 0, 从而 g2( x) h2( x) 0.
称 q( x)为 g( x)除 f ( x的) 商， r( x为) g( x除) f ( x) 的余式．
证： 先证存在性．
① 若 f ( x) 0, 则令 q( x) r( x) 0. 结论成立． ② 若 f ( x) 0, 设 f ( x), g( x)的次数分别为 n,m, 当 n m 时， 显然取 q( x) 0, r( x) f ( x) 即有
即 0 0.
区别：
00 0
零多项式整除零多项式，有意义．
0 除数为零，无意义．
④ 当 g( x) | f ( x) 时， 如果 g( x) 0, 则 g( x) 除
f ( x) 所得的商可表成 f ( x) . g( x)
2．整除的判定
定理1 f ( x), g( x) P[x], g( x) 0,
n
则 f ( x) g( x) (ai bi )x i .
i0 n
减法： f ( x) g( x) (ai bi )x i
i0
乘法：
f ( x)g( x) anbm xnm (anbm1 an1bm )xnm1
(a1b0 aob1 )x a0b0
即， f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 , g( x) bm xm bn1xm1 b1x b0 ,
f ( x) g( x) m n, ai bi , i 0,1,2, ,n.
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
a a0 a1 a2 L ＋) ab0 ab1 L
b0 a0 b1 b2 L
an1 an abn2 abn1 bn1 r
这里， b1 a1 ab0 , b2 a2 ab1, L , bn1 an1 abn2 , r an abn1 .
说明： 综合除法一般用于
2) f ( x), g( x) P[x] f ( x) g( x) 0 ① ( f ( x) g( x)) max(( f ( x)),g( x))) ② 若 f ( x) 0, g( x) 0, 则 f ( x)g( x) 0, 且
( f ( x)g( x)) ( f ( x)) ( g( x))
P上的一元多项式环，记作 P[x] . P称为 P[x] 的系数域．
一、带余除法 二、整除
一、带余除法
定理 对 f ( x), g( x) P[x], g( x) 0,
一定存在 q( x),r( x) P[x], 使 f ( x) q( x)g( x) r( x)
成立，其中 (r( x)) (g( x)) 或 r( x) 0, 并且这样的 g( x),r( x) 是唯一决定的．
g( x) | f ( x) g( x) 除 f ( x) 的余式r x 0.
3．整除的性质
1) 对 f ( x) P[x], 有 f ( x) | f ( x), f ( x) | 0; 对 f ( x) P[x], a P, a 0, 有 a | f ( x).