bx
令Y ln y, A ln a Y A bx 又如: y a bx2 令X x 2 y a bX
8
计 算 方 法 课 件
x 1 b 又如 : y a ax b y x 1 1 令Y , X Y a bX y x
例3:已知数据为
n

3
由此可出求系数 拟合直线为
ˆ ˆ, b a
ˆx ˆ b p( x) a
( xi , yi ), i 1,2,...,n
计 算 方 法 课 件
2. 二次拟合函数 已知数据点为 用二次函数
p( x) a0 a1 x a2 x 2
2 2 ( a a x a x y ) 0 1 i 2 i i i 1 n
解得：
a 10.675, b 0.137
拟合曲线为： f ( x) 10.675 0.137x3 18 结束
xi yi 15 10 6 16 40
xi
2
xi Байду номын сангаасi
2
xi
3
xi
4
9 45 25 50 36 36 64 128 100 400
27 125 216 512 1000 1880
81 625 1296 4096 10000 16098
Σ
87 234 659
32 234 a0 14 5 32 234 1880 a1 97 234 1880 16098 a 659 2
插值与拟合是构造近似函数的两种不同方法
数据拟合最常用的近似标准是最小二乘法：设f(x)为原 函数, (x)为近似函数,(xi , f(xi)) (i=1,…,n)为数据点,要求选 择 (x)使
计 算 方 法 课 件
f ( x ) ( x )
为最小.
i 1 i i
n
2
当 (x)选择为多项式时,称为多项式拟合.
n 2 i

由此可出求系数 拟合曲线为
ˆ0 , a ˆ1 , a ˆ2 a
ˆ0 a ˆ1 x a ˆ2 x 2 p( x) a
5
例1
设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x
计 算 方 法 课 件
3 5
5 2
6 1
8 2
10 4
y
解 5 4 3 2 1 y
xi 2 x i m 1 x i

m x a0 yi i m 1 xi a1 xi yi 2 m xn y a x i m i i
作为近似拟合曲线,均方误差为
Q(a0 , a1 , a2 )
最小。
4
由求极值的方法得法方程：
计 算 方 法 课 件
n n xi 1 in 2 x i i 1
x
i 1 n i 1 n
n
i
2 x i 3 x i i 1
n x yi i 1 a0 i 1 n n 3 x i a1 xi yi i 1 i 1 a n n 2 4 2 x x i i yi i 1 i 1
7
用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454, a1=-3.657,a2=0.272。 最小二乘拟合多项式为：
计 算 方 法 课 件
y p2 ( x) 13.454 3.657x 0.272x 2
3 非线性曲线转化为线性拟合:
y a e ln y ln a bx
最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
2 结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合 已知数据点为
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用直线
( xi , yi ), i 1,2,...,n p( x) a bx作为近似曲线,均方误差为
其矩阵形式为：
1 1 1
x1 y1 x2 a0 y 2 AX b a1 y xn n
13
AT AX AT b
计 算 方 法 课 件
为法方程。
x y
1
2
3
4
5
6
7
8
15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
求一个形如 y=aebx的经验公式(a,b为常数). 解:两边取对数得： ln
y ln a bx
9
Y ln y, A ln a Y A bx
i
0 1
xi
1 2
yi
15.3 20.5
2 ( a bx y ) i i i 1 n
Q ( a, b)
由求极值的方法得矩阵方程——拟合曲线的法方程组
n n xi i 1
n xi yi a i 1 i 1 n n b 2 x xi yi i i 1 i 1
9
16 25 36 49 64 204
9.9315
14.4000 19.4695 25.1016 31.3257 38.1384 147.1354
36 A 29.9787 8 36 204 b 147.1354
10
解该方程组的 A=2.4368,b=0.2912
x ax b
11
§3.3 解矛盾方程组
1. 矛盾方程组 已知数据点为
计 算 方 法 课 件
( xi , yi ), i 1,2,...,n
通过点(xi,yi),则
作拟合直线 若直线
p( x) a0 a1 x
p( x) a0 a1 x
p( xi ) a0 a1 xi yi
第3章
计 算 方 法 课 件
曲线拟合的最小二乘法
§3.1 拟合曲线
通过观察或测量，得到一组离散数据
( xi , yi ),
i 1,2,...,n
插值：找通过这些点的多项式。但对高次多项式，可能 产生较大的误差，如Runge现象，使得高次多项式并不能接 近原函数。 拟合：不要求近似函数过所有的数据点,而是要求它反映 原函数整体的变化趋势,从而得到比原函数更简单更适用的 近似函数,这样的方法称为数据拟合 1 结束
n
定理 （1）AX=b的法方程
AT AX AT b 恒有解；
（2）x*为Ax=b的最小二乘解的充要条件为 ATAx*=ATb. 证明(略)
15
一般形式为：
p( xi ) a0 a1 xi am xim yi
计 算 方 法 课 件
矛盾方程组的矩阵形式为：
1 1 1
由A=lna,即得a=eA=11.436 9
所以,经验公式为：y=11.4369e0.2912x 计 算 方 法 可化为线性拟合的非线性曲线有： 课 拟合曲线 y axb y axk c y aebx 件
y a b lg x
y
1 1 变换关系 Y lg y, X lg x Y y, X x k Y ln y, X x Y y, X lg x Y , X y x 线性函数 Y lg a bX Y aX c Y ln a bX Y a bX Y a bX
1 x 1
1 x2

1 x 1
1 x2

1 x1 n 1 1 x2 n xn xi 1 x i 1 n y1 n yi 1 y2 i 1 n xn xi yi y i 1 n
Yi
2.7279 3.0204
x i2
1 4
xiYi
2.7279 6.0408
计 算 方 法 课 件
2
3 4 5 6 7 ∑
3
4 5 6 7 8 36
27.4
36.6 49.1 65.6 87.8 117.6
3.3105
3.6000 3.8939 4.1836 4.4751 4.7673 29.9787
T
3 x1 y1 3 x2 a y2 b 3 y xn n
36 5 A A 36 4954
T
58.3 A y 1062
AT AX AT y
14
xi i 1 n 2 xi i 1
n
即法方程。
计 算 方 法 课 件
n n xi i 1
n xi yi a0 i 1 i 1 n n a 2 1 xi xi yi i 1 i 1
简化为
x1 x2 xn

a0 a1 m xn am x x
m 1 m 2
y1 y2 y n
Ax b
16
其法方程为：
计 算 方 法 课 件
n xi xm i
首先作平面散点图如下：
x
0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10
从图中观察,这5个点大致在一条抛物线的附近,可考虑 用二次多项式 p2 ( x) a0 a1 x a2 x 2 进行拟合。