高二数学圆锥曲线知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在x 轴上的方程如下：椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程1by ax 2222=+（a>b>0）1by ax 2222=-（a>0，b>0） y 2=2px （p>0）顶 点 （±a ，0） （0，±b ）（±a ，0）（0，0） 焦 点 （±c ，0） （2p，0） 准 线 X=±ca 2x=2p - 中 心（0，0）焦半径P(x 0，y 0)为圆锥曲线上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点|PF 1|=a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0P 在右支时： |PF 1|=a+ex 0|PF 2|=-a+ex 0 P 在左支时： |PF 1|=-a-ex 0 |PF 2|=a-ex 0|PF|=x 0+2p握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
3、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点（-3，32）； （2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）。
分析： 法一：（1）双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 34y ±=设双曲线方程为1b y a x 2222=-，（a>0，b>0） 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a)3(34a b 2222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（2）设双曲线方程为1by ax 2222=-（a>0，b>0）则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1b 2a )23(20b a 222222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8b 12a 22 ∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-法二：（1）设双曲线方程为λ=-16y 9x 22（λ≠0）∴ λ=--16)32(9)3(22 ∴ 41=λ ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=- （2）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴ 1k 42k 16)23(22=+-- 解之得：k=4 ∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-评注：与双曲线1by ax 2222=-共渐近线的双曲线方程为λ=-2222by ax （λ≠0），当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。
与双曲线1by ax 2222=-共焦点的双曲线为1kb y ka x 2222=--+（a 2+k>0，b 2-k>0）。
比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。
例2、设F 1、F 2为椭圆14y 9x 22=+的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF ||PF |21的值。
解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。
法一：当∠PF 2F 1=900时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+5c )c 2(|PF ||PF |6|PF ||PF |22222121得：314|PF |1=，34|PF |2= ∴27|PF ||PF |21= 当∠F 1PF 2=900时，同理求得|PF 1|=4，|PF 2|=2 ∴ 2|PF ||PF |21= 法二：当∠PF F =900，5x =当∠F 1PF 2=900，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+14y 9x )5(y x 22222得： P （554,553±±）。
下略。
评注：由|PF 1|>|PF 2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。
例3、已知x 2+y 2=1，双曲线(x-1)2-y 2=1，直线同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。
求直线方程。
分析：选择适当的直线方程形式，把条件“直线是圆的切线”“切点M 是弦AB 中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：当斜率不存在时，x=-1满足；当斜率存在时，设：y=kx+b 直线与⊙O 相切，设切点为M ，则|OM|=1 ∴11k |b |2=+ ∴ b 2=k 2+1 ①由⎩⎨⎧=--+=1y )1x (bkx y 22得：(1-k 2)x 2-2(1+kb)x-b 2=0 当k≠±1且△>0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则中点M （x 0，y 0），20221k1kb 1x ,k1)kb 1(2x x -+=-+=+∴ y 0=kx 0+b=2k1b k -+ ∵ M 在⊙O 上 ∴ x 02+y 02=1 ∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k 2)2 ②由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==332b 33k 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=332b 33k ∴ 直线方程为：332x 33y -=或33233y +-= 法二：设M （x 0，y 0），则切线AB 方程x 0x+y 0y=1 当y 0=0时，x 0=±1，显然只有x=-1满足； 当y 0≠0时，000y 1x y x y +-= 代入(x-1)2-y 2=1得：(y 02-x 02)x 2+2(x 0-y 0)2x-1=0 ∵ y 02+x 02=1∴ 可进一步化简方程为：(1-2x 02)x 2+2(x 02+x 0-1)x-1=0 由中点坐标公式及韦达定理得：20200x 211x x x --+-=∴即2x 03-x 02-2x 0+1=0解之得：x 0=±1(舍)，x 0=21 ∴ y 0=23±。
下略 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，（1）求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； （2）求证：直线AB 过定点； （3）求弦AB 中点P 的轨迹方程； （4）求△AOB 面积的最小值； 分析：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），中点P （x 0,y 0） （1）22OB 11OA x yk ,x y k ==∵ OA ⊥OB ∴ k OA k OB =-1 ∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∵y 12=2px 1，y 22=2px 2∴0y y p2y p 2y 212221=+⋅ ∵ y 1≠0，y 2≠0 ∴ y 1y 2=-4p 2 ∴ x 1x 2=4p 2（2）∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2 ∴ （y 1-y 2）(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2)∴212121y y p 2x x y y +=-- ∴ 21AB y y p2k += ∴ 直线AB ：)x x (y y p2y y 1211-+=- ∴ 211121y y px 2y y y px 2y +-++=∴ 212112121y y y y px 2y y y px2y ++-++=∵ 221121p 4y y ,px 2y -== ∴ 21221y y p 4y y px 2y +-++= ∴ )p 2x (y y p2y 21-+=∴ AB 过定点（2p ，0），设M （2p ，0） （3）设OA ∶y=kx ，代入y 2=2px 得：x=0，x=2kp 2∴ A （k p2,kp 22） 同理，以k1-代k 得B （2pk 2，-2pk ） ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)k k 1(P y )k 1k (p x 0220 ∵ 2)k k k 1(k1k 222+-=+∴ 2)p y (p x 200+= 即y 02=px 0-2p 2 ∴ 中点M 轨迹方程y 2=px-2p 2 （4）|)y ||y (|p |)y ||y (||OM |21S S S 2121BOM AOM AOB +=+=+=∆∆∆ ≥221p 4|y y |p 2=当且仅当|y 1|=|y 2|=2p 时，等号成立a.建系（建立平面直角坐标系,多数情况此步省略）b.设点（求哪个点的轨迹，就设它（x,y ））c.列式（根据条件列等量关系）d.化简（化到可以看出轨迹的种类）e.证明（改成：修正）（特别是①三角形、②斜率、③弦的中点问题） 2、求动点轨迹方程的几种方法a.直接法：题目怎么说，列式怎么列。