指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一)指数与指数函数１．根式（１）根式的概念(2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂：0,,1)mna a m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算. (２）有理数指数幂的性质 ①a r ａs =a r+ｓ(ａ>0，ｒ、ｓ∈Q ）; ②（a r )s =a rs （a 〉0,r 、s ∈Q )；③（a ｂ）r ＝a r ｂs (ａ>0,b ＞0，r ∈Ｑ）；。

n 为奇数 n 为偶数3．指数函数的图象与性质y=a x a〉1 0<a〈１图象定义域Ｒ值域(0,+∞）性质(1）过定点(0,1)(2)当ｘ>０时，y>１；ｘ<0时，0<y<1(2）当x＞0时，０<y〈1；x<0时,y>1(3)在(-∞，+∞)上是增函数(3)在(—∞，＋∞）上是减函数注:如图所示,是指数函数（1)y＝a x，(2)y＝b x，(3）,y=c x（4），y＝d x的图象，如何确定底数a,b，ｃ,d与1之间的大小关系?提示:在图中作直线ｘ=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c１>d１>1＞ａ1〉b1,∴c＞ｄ〉1>a>b。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.(二）对数与对数函数1、对数的概念(１）对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且,那么数x叫做以a为底,N的对数，记作log Nax=,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

（2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a0,1a a>≠且log Na常用对数底数为１0lg N自然对数底数为e ln N2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质(0,1a a >≠且）:①1log 0a =，②log 1aa =,③log Na aN =，④log Na a N =。

（2）对数的重要公式：①换底公式:log log (,1,0)log NNa bbaa b N =>均为大于零且不等于; ②1log log ba ab=。

（3）对数的运算法则:如果0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M NMa a alog log log -=； ③)(log log R n M n M a na ∈=;④b mnb a na m log log =。

图象1a >01a <<性质（1)定义域:（0，+∞)（2)值域：Ｒ（3）当ｘ=1时，y ＝0即过定点（1，0) (4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞; 当1x >时,(0,)y ∈+∞ (4)当1x >时,(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5)在(0，+∞)上为增函数(５)在(０，+∞)上为减函数提示：作一直线y=１,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0〈c 〈d<1〈ａ〈b 。

4、反函数指数函数y=ａx 与对数函数ｙ=lo ｇa x 互为反函数,它们的图象关于直线ｙ=x 对称。

(三)幂函数１、幂函数的定义形如y ＝x α(a ∈Ｒ)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置． 2、幂函数的图象注:在上图第一象限中如何确定y=x 3，y=x 2，ｙ＝ｘ,12y x =，ｙ=x -1方法：可画出x=x 0;当x 0〉１时,按交点的高低，从高到低依次为y=ｘ3,y ＝x 2, y=x ，12y x =, y ＝x —1; 当０<x 0<1时，按交点的高低,从高到低依次为y ＝ｘ－1，12y x = ,y=x, y ＝x 2,y=x 3 。

y ＝x y=ｘ２y=x 312y x =y=ｘ—1定义域 R ＲR ［0，+∞) {}|0x x R x ∈≠且值域 R [０，+∞） R [0，+∞) {}|0y y R y ∈≠且奇偶性 奇 偶奇非奇非偶 奇单调性增ｘ∈[0,+∞）时,增； x ∈(,0]-∞时，减增 增x ∈（０，+∞)时，减;ｘ∈（—∞,０)时，减定点(1，1）三:例题诠释，举一反三知识点１：指数幂的化简与求值 例1．(2007育才A ）（1）计算:25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---;(２）化简:5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式:（20０7执信A)化简下列各式（其中各字母均为正数）：(1);)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(３)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 知识点２:指数函数的图象及应用例２。

（２0０9广附Ａ)已知实数a 、ｂ满足等式b a )31()21(=，下列五个关系式：①０＜b ＜ａ;②a<b ＜０;③0＜ａ<ｂ;④b<a ＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ )A 。

1个B ．2个 Ｃ。

3个 D 。

4个 变式:(２010华附Ａ)若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x且)1≠a 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是____＿__。

知识点3：指数函数的性质例3。

（2０10省实B ）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数.（Ⅰ)求b 的值;（Ⅱ)判断函数()f x 的单调性;(Ⅲ)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围．变式:（2010东莞B)设a ＞０,ｆ（x)＝xx a a e e +是R 上的偶函数.（1）求a 的值；(２)求证:f(ｘ）在(0,＋∞)上是增函数。

知识点4:对数式的化简与求值例4.(2010云浮A)计算：（１）)32(log 32-+ (２）2(lg 2）2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-；（3）21lg4932－34ｌg 8+lg 245.变式：(2０10惠州Ａ)化简求值． (1）log ２487+log 212—21log 242—1;(2）(lg2）2＋lg2·l ｇ50＋l ｇ２5；(3)(lo ｇ32+log ９2)·(ｌog 43+lo ｇ83)。

知识点5：对数函数的性质例５．（2011深圳A)对于01a <<,给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a +<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+;③111;aaaa++< ④111;aaaa++> 其中成立的是（ ）（A)①与③(B ）①与④(C)②与③（D)②与④变式：(201１韶关A)已知0<ａ<1，b ＞１,a ｂ>1,则l ｏg a bb b b a 1log ,log ,1的大小关系是 ( ）Ａ．l ｏｇa bb b ba 1log log 1<< B 。

b b b b a a 1log 1log log << Ｃ。

bb b a b a 1log 1log log << D ．b b b a a b log 1log 1log <<例6.（2010广州B)已知函数f （x ）=log a x(a>０，a ≠１),如果对于任意x ∈［3,＋∞)都有｜f （ｘ)｜≥1成立，试求a 的取值范围. 变式：(2010广雅B)已知函数f （x)=ｌｏｇ2(ｘ2-ax —ａ)在区间(-∞,1-3]上是单调递减函数。

求实数a 的取值范围. 知识点6:幂函数的图象及应用例７.(2009佛山B ）已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上,点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上.问当x 为何值时有:（１）()()f x g x >;(２)()()f x g x =；（３)()()f x g x <.变式:(2009揭阳B)已知幂函数f （x)＝ｘ322--m m(m ∈Z )为偶函数,且在区间(0，+∞)上是单调减函数。

(1）求函数f(x ）；(2)讨论F(x)=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性。

四:方向预测、胜利在望１.（Ａ)函数41lg)(--=x xx f 的定义域为( ） A.(1，４) B ．［1,4) Ｃ．(-∞，1)∪(４，+∞) Ｄ．(-∞,1]∪（４，+∞) 2.(A ）以下四个数中的最大者是（ )(A) (ｌn ２）2ﻩﻩ（B) ｌn （ｌn2)ﻩ(C) ｌｎ2(D ） ln2３(B)设a>1,函数ｆ(x)=ｌo ｇa x 在区间[ａ，2ａ］上的最大值与最小值之差为,21则ａ=（ ) (A)2 (B)2 (C ）22 （D ）４4．(A)已知()f x 是周期为２的奇函数,当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则( ）(A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << （D)c a b <<5.(B ）设ｆ(ｘ)= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式ｆ（x )＞２的解集为（ ) (A)（1,2)⋃（３,+∞) （B ）(10，+∞)(Ｃ)(1，2）⋃ (10 ，+∞) （D)（1,２） 6.(A ）设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =，则（ ） A ．R Q P <<ﻩＢ．P R Q << Ｃ.Q R P << Ｄ．R P Q <<７.(A ）已知c a b 212121log log log <<,则( )A ．c ab 222>>ﻩB ．c ba 222>> Ｃ.abc 222>> Ｄ.b a c 222>> 8.(B)下列函数中既是奇函数,又是区间[]1,1-上单调递减的是（ )(A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+（Ｃ） 1()()x x f x a a -=+ (D) 2()2xf x lnx-=+ 9.（A)函数y =（ )A [1,)+∞ Ｂ 23(,)+∞ C 23[,1] D 23(,1]10.（Ａ)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A,且点A 的横坐标为２，则k （ ）A.41-B.41C.21- D ．2111.（Ｂ)若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限，则一定有（ ) A ．010><<b a 且 B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且 Ｄ.01<>b a 且1２.（B ）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的３倍,则a=( ) A 。