专题18 解直角三角形问题一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边2.特殊值的三角函数：专题知识回顾三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。

3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

四、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系 1cos sin 22=+A A（3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin:i h l =hlα【例题1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【答案】2或2或2．【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2，故答案为：2或2或2．【例题2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．【例题3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sinB＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D.C.M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出C D．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．专题典型训练题一、选择题1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6【答案】A．【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）A．，，B．32，42，52C．D．0.3，0.4，0.5【答案】D．【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。

3.（2019广西省贵港市）将一条宽度为2cm 的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB ，重叠部分为ABC ∆（图中阴影部分），若45ACB ∠=︒，则重叠部分的面积为( )A ．2B ．2C ．24cmD ．2 【答案】A ．【解析】过B 作BD AC ⊥于D ，则90BDC ∠=︒，依据勾股定理得出BC 的长，进而得到重叠部分的面积． 如图，过B 作BD AC ⊥于D ，则90BDC ∠=︒， 45ACB ∠=︒Q ，45CBD ∴∠=︒，2BD CD cm ∴==，Rt BCD ∴∆中，)BC cm ==，∴重叠部分的面积为12)2cm ⨯=，故选：A ．4.（2019贵州省毕节市） 如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB ＝1，EC ＝2，那么正方形ABCD 的面积为（ ）A B ．3C D ．5【答案】B ．【解析】勾股定理．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．5．（2019•南岸区）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC 于点E，若ED＝3，则AC的长为（）A．3B．3 C．6 D．9【答案】D．【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，DE⊥BC，求出BD＝DC＝2DE＝3，根据直角三角形的性质计算即可．∵DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝DB，DE⊥BC，∵∠C＝30°，∴BD＝DC＝2DE＝3，∴∠DBC＝∠C＝30°，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴AD＝BD＝3，∴AC＝DC+AD＝9．6．（2019•西藏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB等于（）A ．1B ．C ．2D ．2【答案】B【解析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB 是等腰直角三角形，进而得出答案． ∵半径OC ⊥弦AB 于点D ， ∴＝，∴∠E ＝∠BOC ＝22.5°， ∴∠BOD ＝45°，∴△ODB 是等腰直角三角形， ∵AB ＝2， ∴DB ＝OD ＝1， 则半径OB 等于：＝．7.（2019•江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（ ） A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m【答案】C【解析】考察30o 角的三角函数值，中等偏易题目 过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，CDE BC ==在Rt ADEV中，tan30AE DE =o18mAE∴==18 1.519.5mAB∴=+=8.（2019•湖南长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【答案】B．【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，CA∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．二、填空题9.（2019·贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】．【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA ＝∠DNA ＝∠BAC ＝90°，∴四边形DMAN 是矩形，∴MN ＝AD ，∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时，△ABC 的面积＝AB ×AC ＝BC ×AD ，∴AD ＝＝，∴MN 的最小值为。