f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （ C 为任意常数）
不定积分的定义：
定义3-2 在区间I 内，函数 f ( x)的原函数
的全体 F(x)+C，称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
性质3-1 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx;
证
f (x)dx g(x)dx
f (x)dx g(x)dx f ( x) g( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
性质3-2 kf (x)dx k f (x)dx.
（k 是常数，k 0)
y
斜率都为
f (x)
o
x
F x C.
x
3.1.2 基本积分公式
实例
x 1
x
xdx x1 C . ( 1)
1
1
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
性质
1
d dx
f
( x)dx
f (x),
d f (x)dx
f (x)dx,
2 F(x)dx F(x) C, dF ( x) F ( x) C.
第3章 一元函数积分学
3.1 不定积分 3.2 定积分 3.3 广义积分 3.4 定积分的应用
d y f '(x)d x
3.1 不定积分
问题的提出
我们知道
x1
1
反之， x ?
x
x
x1
1
本章所讲的内容就是导数的逆运算
3.1 不定积分
3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 基本积分公式 3.1.3 不定积分的性质 3.1.4 换元积分法
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x 1
1
C
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
2
3.1.3 不定积分的性质
在区间I 内原函数.
例 sin x cos x sin x是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0)
x
ln x是1 在区间(0,) 内的原函数. x
问题：
(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C 为任意常数）
(4)
1
1 x2dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
1.第一类换元法
2.第二类换元法 3.1.5 分部积分法 3.1.6 有理函数的不定积分 3.1.7 积分表的使用
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3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义3- 如果在区间 I 内，可导函数F ( x)的导函数 1 为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x)，或
dF ( x) f ( x)dx，则函数F ( x)就称为 f ( x)
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和 G( x) 都是 f ( x) 的原函数，
则 F ( x) G( x) C （ C 为任意常数）
F ( x) G( x) F( x) G( x)
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
函数 f ( x)的原函数的图形 称为 f ( x)的积分曲线.
求不定积分得到一积分曲线族.
不定积分的几何意义
不定积分的几何意义是一族积分曲线, 这族曲线 满足：在横坐标相同的点处,这些积分曲线的切线有 相同的斜率,故这些切线都是平行的.
例7 求积分 tan2 xdx
解 tan2 xdx (sec2 x 1)dx
tan x x C
例8
求积分
x4
1
x2
dx
解
1
x4 x2
dx
(x2
1)(x2 1) 1 x2
1
dx
x2
1
1 1 x2
dx
x2dx
dx
1
1 x2
dx
x3 x arctan x C
例5 求积分
3
1
x2
2 1
x2
dx
解
3
2
1
x2
1
x2
dx
1
1
3 1 x2 dx 2
dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6 求积分 ex 3cos x dx 解 ex 3cos x dx
exdx 3 cos xdx
e x 3sin x C
被 积 表 达
式
积 分 变 量
积 分 常 量
注1 若已知F (x)是f (x)在区间I中的一个原函数,
则有
f x dx F x C.
注2不定积分和原函数是总体与个体的关系.
不定积分是一个集合，原函数则是该集
合中的一个元素.
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本 积
(2) xdx x1 C ( 1); 1
分 公 式
(3)
1 x
dx
ln
x
C
说明： x
x
0,
0,
dx x
[ln( x)]
ln x 1
C, ( x)
1
,
x
x
dx x
ln(
x)
C
,
dx ln | x | C, x
6
例2
求
1
1 x2
dx
解
arctan
x
1 1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
3
例9
求积分
1 dx cos2 x sin2 x
解：
cos2
1 x sin2
dx x
cos2 x sin2 x dx