2） 应用KVL,KCL和VCR, 求其他元件在t=0+时的值.
例：开关 K 打开前电路处稳态，给定R1 =1Ω，R2 =2Ω，R3 =3Ω， L=4H，C=5F，US=6V，t=0 开关 K 打开，求iC ，iL ，i，uC ，uL ，在 0+ 时的值。
i
R1
Us C iC
图(a) R3
R2
+ uC iL
因此一阶电路微分方程解的通用表达式：
t
f (t ) f (t ) [ f (0 ) f (t ) ] e t0
式中,
f (t)：代表一阶电路中任一电压、电流函数
f (0 )-- 初始值 f (t) -- 特解
-- 时间常数
（三要素）
注： f (t) 为换路后电路达到稳定时的解.
在直流电源激励的情况下，f (t) f ()
故对直流电路上式可改写为：
t
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
f (0 )-- 初始值
f () -- 稳态解
-- 时间常数
（三要素）
利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。 一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得 f (0 ) 、
f ()和 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。
4 4 00
44
2 6
换路瞬间，uC、iL 不能跃变，但 iC、uL可以跃变。
例2：下图所示电路中，已知：R1=3， R2=6 ， R3=3， C1= 5 µF， C2= 10 µF ，U=20V,S闭合时电 路已处于稳态。试求：C1、 C2 上电压的初始值。
R1Biblioteka +R2C2
-U 20V C1 S t=0 R3
若 uc 发生突变，
由于物体所具有的能量不能跃变
则 iC
duC dt
一般电路 不可能！
在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
∵
C
储能：WC
1 2
CuC2
∵
L储能：WL
1 2
Li
2 L
\ u C 不能突变
\ iL不能突变
9-2 换路定则与初始值的确定
1. 换路定则
（1） 线性电容
i C duc dt
uc
解： （1）求初始值，画出 t=0–的电路
R1
+
R2
C2
-U 20V C1 S t=0 R3
uC1(0-) = —RR1—+3R•—2U+—R3
= —3×—2—0 = 5V 3+6+3
uC2 (0-) = R—R1+—2R•—2U+—R3
- +uR1(0+)
i (0-)
U+
R1
R2
- 20V
+
uC1(0--)
以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)所示电路的微分方程
由KVL可得
Ri+uc=US
RC
duC dt
uC
US
(t 0)
方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解
即 uC (t) uC (t) uC (t)
特解u'C 满足微分方程关系
RC
duC dt
uC
Us
对应齐次微分方程的通解 uC 满足
第9讲 动态电路的概念
9-1 动态电路的基本概念 9-2 换路定则与初始值的确定 9-3 动态电路的三要素法
9-1 动态电路的基本概念
一. 动态电路及方程 电路含有储能元件(电容或电感)时电路的方程
为微分方程. ------动态方程 含有电容或电感元件的电路, 称为动态电路.
二. 一阶电路
能用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路. 按储能元件的性质,一阶电路可分为:
+ L uL
图(b)
R1
R3
i2(0) R2
Us +
uC(0)
iL(0)
iL (0 )
( R1
Us R2 ) //
R3
4A
t=0_
uC (0 )
R1
R2
R2
U
s
4V
i(0+)
R1 UsiC(0+)
uC(0+)
t=0+ 由换路规则得
iL (0 ) 4 A uC (0 ) 4V
图(c) iL(0+)
举例说明：
uC
U
旧 过渡过程
稳
态
t=0
t
新 稳 态
旧稳态 i=0, uC = 0
新稳态
i = 0, uC= U
K
+
_U
R
+
_U
Ri
uC
i
uC
过渡过程 : 旧稳态
新稳态
电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程
电路在换路后出现过渡过程的原因：
内因：电路中有储能元件——电容 C 或电感 L
外因：换路
+-uC2 (0-)
R3
= —6×—2—0 = 10V 3+6+3
uC1(0+)= uC1(0-)= 5V uC2(0+)= uC2(0-)= 10V
t=0–的电路
9-3 三要素法
电路如图(a)所示，开关连接在1端为时已经很久，uC(0-)=U0。 t=0时开关倒向2端。t >0 时的电路如图 (b)所示。
iL (0
)
iL (0
)
1 L
0
u(
0
)d
由于u(t)为有限值, 则
iL (0 ) iL (0 ) ------电感里的电流不会发生突变
故有： 换路定则
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
2. 初始值的确定
初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 求解要点：
RC电路 R L电路
三.换路和过渡过程
当电路的结构或元件的参数发生变化时, 称为换路.
发生换路时, 电路将从一个稳态过渡到换路后的另 一个稳态,其间的变化过程称为过渡过程又称暂态过程.
a
约 定:
us
Sb R C
t=0:表示换路的瞬间
+
- uc
t=0+:表示换路后的 最初瞬间
t=0-:表示换路前的 最终瞬间
(t
)
uc
(t0
)
1 C
t
t 0
i(
)d
令t0 0 , t 0
uc
(0
)
uc
(0
)
1 C
0
i
(
0
)d
由于i(t)为有限值, 则
uc (0 ) uc (0 ) ------电容上的电压不会发生突变
（2） 线性电感
u L diL dt
iL(t)
iL(t0
)
1 L
t
t 0
u(
)d
令t0 0 , t 0
RC
duC dt
uC
0
其解：uC (t) Ae pt
由特征方程 RCp +1=0
得 p = –1/RC= –1/τ
微分方程的通解为
uC (t) uC (t) uC (t) uC (t) Aet
由t=0+时的值确定积分常数A
即 A uC (0 ) uC (0 )
故
t
uC (t) uC (t) uc (0 ) uc (0 )e
第9讲
结束
(1) 先求 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 1) 由t =0-的电路（换路前稳态）求uC ( 0– ) 、iL ( 0– )； 2) 根据换路定律求 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 (2) 再求其它电量初始值。
1) 由t =0+的电路求其它电量的初始值； 即换路后电路中， 将电容C用数值为uc(0+)的电压源代替 将电感L用数值为iL(0+)的电流源代替.
R3
由图（c）得
+ uL(0+)
iC
(0
)
Us
uC R1
(0)
2A
i(0+)= iC (0+)+iL(0+)=6A
uL (0+)=US R3iL(0+)= 6V
计算结果：
电量
t 0 t 0
i
R1
Us C iC
图(a) R3
R2
+ uC iL
+ L uL
uC / V iL / A iC / A uL / V