立体几何是我们高中学习的 一个难点，关键在于其抽象性及理 解定理的基础上灵活运用，抽象性 在此就不多言了，我们来谈一下定 理的问题。 在高中人教 A 版的第 二章《点、直线、平面之间的位置关 系》中，对于直线与平面平行的判 定，平面与平面平行的判定，直线 与平面垂直的判定等定理都没有
两 个 定 理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
给出证明， 课本中只是探究说明， 让学生体会而得到。如果能给出证 明，就能够很好地体现定理的严密 性，在此可以用向量法来证明。
2011·12 新教育
中 学 理 科
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用 向 量
在高中阶段，我们学习了平面 向量与空间向量的基本知识，而向 量本身既可以进行代数运算又含 有几何特征， 这是很典型的知识， 促使其在代数或几何方面都可以
法 证 明
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得到很好的应用，因此，在解题方 面运用向量知识及本身含有的运 算去解决问题的方法，我们称为向 量法。即向量法既能解决代数问题 也能解决几何问题。
定理 2: 轮换混合积的三个因子， 并不改变它的值， 对 调 任 何 两 个 因 子 要 改 变 混 合 积 的 符 号 ，即 （α軑，β軑，γ軋 ）= （γ軋，α軑，β軑）=（β軑，γ軋，α軑）=-（β軑，α軑，γ軋）=-（γ軋，β軑，α軑）=-（α軑，γ軋，β軑）。
下面我们用以上的向量知识证明立体几何的两个 定理。
直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
已知：如图 2，a埭α，b奂α，且 a荠b，证明：a荠α。 分析： 在平面 α 内 找 到 一 直 线 c， 证 明（a軆 ，b軋×c軆 ）=0 即可。 证明：如图 3，在 平面 α 内的直线 b 上取一点 o， 过 o 点作一直线 c 与直 线 b 交于 o 点；设直线 a、b、c 上分别有非零向量a軆 、b軋、c軆 。 ∵ a荠b ∴ a軆 与b軋共线 即a軆×b軋＝0軋。 根据定理 2，有（a軆 ，b軋×c軆 ）=（c軆 ，a軆×b軋）=0，即a軆 与b軋×c軆 垂直。 ∴ 直线 a 与平面 α 的垂线垂直，又直线 a 在平面 α 外， ∴ a荠α。 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条 相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。 已知：如图 4，a奂β,b奂β,a∩b=P,a荠α,b荠α, 证明：α荠β。 分析：证明平面 β 内任一条直线都 和平面 α 平行即可。 证明：如图 5，设 直线 m 为平面 β 内 任一条直线，在平面 α 内取两条相交直线 c 与 d，又设直 线 a、b、c、d、m 上分别有非零向量 a軆 、b軋、c軆 、d軋、m軖。 由于 a軆 、b軋 是平面内两条不共线的向量，则由平面向量基本定理可 知 ，m軖=λ a軆 +μb軋 。 ∵ a荠α，b荠α ∴ （a軆 ，c軆×d軋）=（b軋，c軆×d軋）=0 ∴ （m軖，c軆×d軋）=（λa軆+μb軋，c軆×d軋）=λ（a軆 ，c軆×d軋）+μ（b軋，c軆×d軋）=0 即直线 m 与平面 α 平行， 又直线 m 为平面 β 内任 一条直线。 ∴ α荠β。 证毕 用向量法证明立体几何中的直线与平面平行的判 定、平面与平面平行的判定等定理，解题思路清晰、过 程简洁。 对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简， 化难为易的效果， 体现了向量法解决几何问题的优越 性。
下面我们就用向量法证明这 些定理，先介绍一些向量知识及相 关定理。
定义 1.两 个 向 量α軑与β軑的 长 度 与他们之间的夹角的
余弦的乘积称为α軑与β軑的数量积。 记为α軑·β軑=|α軑||β軑|cosθ。
特别地，若非零向量α軑与β軑垂直，即α軑⊥β軑，则α軑·β軑=0
定义 2.空间任意两个向量α軑与β軑的向量积是一个向
定义 3. 给定空间的三个向量α軑、β軑、γ軋，如果先做前两
个 向 量α軑 与β軑 的 向 量 积 α軑×β軑 ， 再 做 所 得 向 量 与 第 三 个 向 量
γ軋 的 数 量 积 ， 最 后 得 到 的 这 个 数 叫 做 三 个 向 量 的 混 合 积 。
记作（α軑×β軑，γ軋）或者（α軑，β軑，γ軋）。
量，记为α軑×β軑（或[α軑，β軑]）。 它的模为|α軑×β軑|=|α軑||β軑|sinθ，
其中 θ 为向量α軑与β軑之间的夹角，它的方
向与α軑和β軑都垂直，并且按 向 量α軑、β軑、α軑×
β軑这个顺序构成右手坐标系。 如图 1。
图1
定理 1：两个向量α軑与β軑共线的充分
必要条件是α軑×β軑=0軋。