2019-2020学年湖北省黄冈市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列成语所描述的事件是必然事件的是()A. 水涨船高B. 水中捞月C. 一箭双雕D. 拔苗助长【答案】A【解析】解：A、水涨船高是必然事件，故此选项正确；B、水中捞月，是不可能事件，故此选项错误；C、一箭双雕是随机事件，故此选项错误；D、拔苗助长是不可能事件，故此选项错误；故选：A．必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可解决．此题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是()A. 开口方向向上B. 对称轴是直线x=1C. 顶点坐标为(−1,−2)D. 当x>1时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】解：∵抛物线y=(x−1)2−2，∴顶点坐标是(1,−2)，对称轴是直线x=1，根据a=1>0，得出开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，∴A、B、D说法正确；C说法错误．故选：C．根据抛物线的解析式得出顶点坐标是(1,−2)，对称轴是直线x=1，根据a=1>0，得出开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．本题主要考查对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．3.如图，已知点P在反比例函数y=k上，PA⊥x轴，垂足为x点A，且△AOP的面积为4，则k的值为()A. 8B. 4C. −8D. −4【答案】C上，PA⊥x轴，且△AOP的面积为4，【解析】解：∵点P在反比例函数y=kx∴1|k|=4，2∴k=8或k=−8，∴k=−8．故选：C．|k|=4，再根据k<0，求出k的值．根据反比例函数k的几何意义，可得12考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数k的几何意义是解决问题的前提．4.AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作O的切线，切点为C，连接AC，∠P=40°D为圆上一点，则∠D的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】A【解析】证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP=90°，即∠COP+∠P=90°，∵∠P=40°，∴∠COP=50°，∵OA=OC，∠COP=25°，∴∠OCA=∠OAC=12∴∠D=∠CAO=25°，故选：A．∠COP，再根据圆连接OC，根据切线的性质得到∠OCP=90°，证明∠OCA=∠OAC=12周角定理得出答案．本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质定理是解题的关键．5.如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC//AB，则∠BAE等于()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】C【解析】解：∵DC//AB，∴∠DCA=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，∴∠ADC=∠DCA=65°，∴∠CAD=180°−∠ADC−∠DCA=50°，∴∠BAE=50°．先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，AC=AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°−∠ADC−∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．6.已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=−3，则实数k的值为()A. 1B. −1C. 2D. −2【答案】B【解析】解：把x=−3代入方程得：9+3k−6=0，解得k=−1．故选：B．方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．7.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若△PCD的周长等于3，则PA的值是()A. 32B. 23C. 12D. 34【答案】A【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC=EC，DE=DB，PA=PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB=3，∴PA=3．2故选：A．直接利用切线长定理得出AC=EC，DE=DB，PA=PB，进而求出PA的长．此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键．8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2−4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为()A. 1B. 2C. √2【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+6=(x−2)2+2，∴抛物线的顶点坐标为(2,2)，∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为2，∴对角线BD的最小值为2．故选：B．先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(2,2)，再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC 的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD的最小值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.把一元二次方程x(x+1)=4(x−1)+2化为一般形式为______．【答案】x2−3x+2=0【解析】解：x2+x=4x−4+2，x2−3x+2=0，故答案为：x2−3x+2=0．把方程左右两边的因式分别相乘，再把右边的项移到左边，合并同类项即可．此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．10.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为______．【答案】5【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC=AC1=3，∠CAC1=60°，∴∠BAC1=90°，∴BC1=√AB2+AC12=√16+9=5，故答案为：5．由旋转的性质可得AC=AC1=3，∠CAC1=60°，由勾股定理可求解．本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练旋转的性质是本题的关键．11.在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为2，那么盒子内3白色乒乓球的个数为______．【答案】4【解析】解：设盒子内白色乒乓球的个数为x，根据题意，得：x2+x =23，解得：x=4，经检验：x=4是原分式方程的解，∴盒子内白色乒乓球的个数为4，故答案为：4．设盒子内白色乒乓球的个数为x，根据摸到白色乒乓球的概率为23列出关于x的方程，解之可得．此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．12.如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为(2,4)，将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为______．【答案】12【解析】解：∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为(2,4)，将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，∴点C的坐标为(6,2)，∴2=k6，解得，k=12，故答案为：12．根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，由点C在反比例函数y=kx的图象上，从而可以得到k的值，本题得以解决．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化−旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13.已知抛物线y=2(x−1)2+1，当0<x<3时，y的取值范围是______．【答案】1≤y<9【解析】解：∵抛物线y=2(x−1)2+1，∴当x>1时，y随x的增大而增大，当x<1时，y随x的增大而减小，∴x=0和x=2的函数值相等，当x=3时，y=9，当x=1时，y=1，∴当0<x<3时，y的取值范围是1≤y<9，根据抛物线y=2(x−1)2+1和二次函数的性质，可以得到当0<x<3时，y的取值范围，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14.如图，圆锥的底面直径AB=20cm，母线PB=30cm，PB的中点D处有一食物，一只小蚂蚁从点A出发沿圆锥表面到D处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为______cm．【答案】15√3【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，B点的对应点为B′，D点的对应点为D′，扇形的圆心角为n度，，解得n=120°，根据题意得20π=n⋅π⋅30180×120°=60°，则∠APB′=12而PA=PB′，∴△PAB′为等边三角形，∵D′为PB′的中点，PB′=15，∴PD′=12∴AD′=√3PD′=15√3，∴蚂蚁走过的最短路线长为15√3cm．故答案为15√3．圆锥的侧面展开图为扇形，B点的对应点为B′，D点的对应点为D′，扇形的圆心角为n，解得n=120°，所以∠APB′=60°，则△PAB′为等度，利用弧长公式得到20π=n⋅π⋅30180边三角形，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AD′即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了最短路径问题．三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）15.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个实数根，求k的取值范围．【答案】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2−4ac=36−4k×9=36−36k≥0，解得：k≤1且k≠0．【解析】一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，且二次项系数不等于0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．在解题过程中容易忽视的问题是二次项系数不等于0．16.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径．【答案】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA.根据垂径定理，得AD=6，设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+(r−4)2，解得r=6.5，答：拱桥的半径是6.5米．【解析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O.连接OA.根据垂径定理和勾股定理求解．此题考查了运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．17.(1)(x−1)2=2(x−1)(2)2x2−5x−2=0【答案】解：(1)∵(x−1)2=2(x−1)，∴(x−1)2−2(x−1)=0，∴(x−1)(x−1−2)=0，∴x=1或x=3．(2)∵2x2−5x−2=0，∴a=2，b=−5，c=−2，∴△=25−4×2×(−2)=41，∴x=5±√414【解析】(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案．(2)根据一元二次方程的解法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18.已知如图，正方形ABCD，E为边AD上一点，△ABE绕点A逆时针旋转90°后得到△ADF．(1)如果∠AEB=65°，求∠DFE的度数；(2)BE与DF的位置关系如何？说明理由．【答案】解：(1)∵△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF，∴AE=AF，∠AFD=∠AEB=65°，∠EAB=∠FAD=90°，∴∠DFE=∠DFA−∠AFE=65°−45°=20°(2)结论：BE⊥DF．理由：延长BE交DF于H，∵△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF，∴∠ABE=∠ADF，∵∠ADF+∠F=90°，∴∠ABE+∠F=90°，∴∠FHB=90°，∴BE⊥DF．【解析】(1)根据旋转的性质得AE=AF，∠AFD=∠AEB=65°，∠EAB=∠FAD=90°，求出∠AFE即可解决问题．(2)延长BE交DF于H，根据旋转的性质得∠ABE=∠ADF，由于∠ADF+∠F=90°，则∠ABE+∠F=90°，根据三角形内角和定理可计算出∠FHB=90°，于是可判断BH⊥DF．本题考查了旋转的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ=0.求m的值．【答案】解：(1)由题意知，(2m+3)2−4×1×m2≥0，解得：m≥−34；(2)由根与系数的关系得：α+β=−(2m+3)，αβ=m2，∵α+β+αβ=0，∴−(2m+3)+m2=0，解得：m1=−1，m1=3，由(1)知m≥−34，所以m1=−1应舍去，m的值为3．【解析】(1)根据方程有两个相等的实数根可知△>0，求出m的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca是解答此题的关键．20.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同；求每次下降的百分率．【答案】解：设每次下降的百分率为a ，根据题意，得：50(1−a)2=32，解得：a =1.8(舍)或a =0.2，答：每次下降的百分率为20%．【解析】设每次降价的百分率为a ，(1−a)2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．21. 如图，一次函数y =−x +b 的图象与反比例函数y =kx (x <0)的图象交于点A 、C 两点，其中点A(−3,m)，与x 轴交于点B(−2,0)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求C 点坐标；(3)根据图象，直接写出不等式−x +b <kx 的解集．【答案】解：(1)由点B(−2,0)在一次函数y =−x +b 上，得b =−2一次函数的表达式为y =−x −2：；由点A(−3,m)在直线y =−x −2上，得m =1A(−3,1)把A(−3,1)代入y =k x (x <0)得k =−3∴反比例函数的表达式为y =−3x ；(2)解{y =−x −2y =−3x 得{x =−3y =1或{x =1y =−3， ∴C(1,−3)；(3)不等式−x +b <kx 的解集为−3<x <0或x >1．【解析】(1)运用待定系数法求出在一次函数的表达式，从而求出点A 的坐标，再运用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；(2)解析式联立，解方程组即可求得；(3)根据图象即可求得．本题考查了待定系数法求函数解析式及反比例函数与一次函数图象交点的问题，求得交点的坐标是解题的关键．22. 某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图(不完整)，请你根据图中信息解答下列问题(1)求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；(2)求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；(3)学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．【答案】解：(1)本次比赛获奖的总人数为4÷10%=40(人)，所以二等奖人数为40−(4+24)=12(人)，补全图形如下：(2)扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×1240=108°；(3)树状图如图所示，∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是212=16．【解析】(1)先有一等奖人数及其对应的百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等(2)用360°乘以“二等奖”所占比例即可得；(3)画出树状图，由概率公式即可解决问题．本题考查列表法与树状图法、频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．23. 如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O ，与BC交于点D ，过D 作AC 的垂线，垂足为E ．(1)求证：点D 是BC 的中点：(2)求证：DE 是⊙O 切线．【答案】证明：(1)连接AD ，∵AB 是直径，∴AD ⊥BC ，又∵AB =AC ，∴BD =CD ，∴点D 是BC 的中点；(2)连接OD ，∵∠BAC =2∠BAD ，∠BOD =2∠BAD ，∴∠BAC =∠BOD ，∴OD//AC ，又∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线．【解析】(1)连接AD ，得出AD ⊥BC ，根据等腰三角形性质推出BD =DC 即可；(2)连接OD ，求出∠BOD =∠BAC ，推出OD//AC ，即可得出∠ODE =90°，根据切线的判定推出即可．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．24. 每年九月开学前后，是文具盒的销售旺季，商场专门设置了文具盒专柜李经理记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y(元/个)与时间第x 天(x 为整数)的数量关系如图所示，日销量p(个)与时间第x 天(x 为整数)的函数关系式为：P ={20x +180(1≤x ≤9)−60x +900(9≤x ≤15)(1)直接写出y 与x 的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)设日销售额为W(元)，求W(元)关于x(天)的函数解析式；在这15天中，哪一天销售额W(元)达到最大，最大销售额是多少元；(3)由于需要进货成本和人员工资等各种开支，如果每天的营业额低于1800元，文具盒专柜将亏损直接写出哪几天文具盒专柜处于亏损状态？【答案】解：(1)当1≤x ≤5时，设一次函数的解析式为：y =kx +b(k ≠0)把A(1,14)和B(5,10)代入得：{k +b =145k +b =10， 解得：{k =−1b =15， ∴一次函数的解析式为：y =−x +15(k ≠0)；综上，y 与x(x 为整数)的函数关系式为：y ={−x +15(1≤x ≤5)10(5<x ≤15)； (2)①当1≤x ≤5时，W =py =(−x +15)(20x +180)=−20x 2+120x +2700=−20(x −3)2+2880，∵x 是整数，∴当x =3时，W 有最大值为：2880，②当5<x ≤9时，W =py =10(20x +180)=200x +1800，∵x 是整数，200>0，∴当5<x ≤9时，W 随x 的增大而增大，∴当x =9时，W 有最大值为：200×9+1800=3600，③当9≤x ≤15时，W =10(−60x +900)=−600x +9000，∵−600<0，∴W 随x 的增大而减小，∴x =9时，W 有最大值为：−600×9+9000=−5400+9000=3600，综上，在这15天中，第9天销售额达到最大，最大销售额是3600元；(3)①当1≤x ≤5时，W =−20(x −3)2+2880=1800，解得：x =3±3√6，∵7<3√6<8，∴10<3+3√6<11，∴当1≤x ≤5时，每天的营业额高于1800元；②当5<x ≤9时，W =200x +1800<1800，x <0，③当9≤x ≤15时，W =−600x +9000<1800，x >12，综上，文具盒专柜处于亏损状态是：第13天，第14天，第15天．【解析】(1)是分段函数，利用待定系数法可得y 与x 的函数关系式；(2)是分段函数，根据日销售额为W(元)=销售单价y(元/个)×日销量p(个)，可得W 与x 的函数关系式，并根据增减性确定最大值；(3)根据(2)中分类讨论的解析式，由每天的营业额低于1800元列不等式或等式可解答． 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最佳解决途径． 25. 如图，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和B(3,0)，与y 轴交于点C(0,3)，顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)求∠CBD 的度数；(3)若点N 是线段BC 上一个动点，过N 作MN//y 轴交抛物线于点M ，交x 轴于点H ，设H 点的横坐标为m ．①求线段MN 的最大值；②若△BMN 是等腰三角形，直接写出m 的值．【答案】解：(1)∵抛物线与y 轴交于点C(0,3)，∴c =3，将点B(3,0)代入y =x 2+bx +3，求得b =−4，∴y =x 2−4x +3；(2)∵顶点为D ，∴D(2,−1)，∴直线BD 的解析式y =x −3，∴∠OBD =45°，∵OB =OC ，∴∠CBO =45°，∴∠CBD =90°；(3)①直线BC 的解析式y =−x +3，∵H 点的横坐标为m ，∴N(m,−m +3)，M(m,m 2−4m +3)，∴MN =−m +3−m 2+4m −3=−m 2+3m =−(m −32)2+94， 当m =32时，MN 的最大值为94；②BM 2=(m −3)2(m 2−2m +2)，BN 2=2(m −3)2，MN 2=m 2(m −3)2， 当BM =BN 时，m 2−2m +2=2(m −3)，解得m 无解；当BM =MN 时，m 2−2m +2=m 2，解得m =1；当BN =MN 时，2=m 2，解得m =±√2，∵点N 是线段BC 上一个动点，∴m >0，∴m =√2；综上所述，当m =√2或m =1时△BMN 是等腰三角形．【解析】(1)将点C 与点B 代入抛物线解析式即可；(2)可求∠OBD =45°，∠CBO =45°，则∠CBD =90°；(3)①由题可知N(m,−m +3)，M(m,m 2−4m +3)，所以MN =−m +3−m 2+4m −3=−m 2+3m =−(m −32)2+94，当m =32时，MN 的最大值为94；②BM 2=(m −3)2(m 2−2m +2)，BN 2=2(m −3)2，MN 2=m 2(m −3)2，当BM =BN 时，m 2−2m +2=2(m −3)，解得m 无解；当BM =MN 时，m 2−2m +2=m 2，解得m =1；当BN =MN 时，2=m 2，解得m =±√2，由m >0，解得m =√2．本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论三角形是等腰三角形的情况是解题的关键．。