x1 x2
1
uu12
(5.3)
(5.4) (5.5)
5.1.1 一维杆单元
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
u(x) N (x)δe
(5.6)
（4）应变
由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
(x)
u x
dN (x) dx
uu12
1 le
1 le
uu12
B
uu12
（7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements）
对于图5.1所示结构 第一个单元：
δ(1)
uu12
K (1)
E(1) A(1) l (1)
1 1
1
1
P (1)
RR12
5.1.1 一维杆单元
第二个单元：
δ(2)
uu23
K (2)
E(2) A(2) l (2)
移插值模式（interpolation model）.
u(x) a1 a2x
(5.2)
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 为u(x) |xx1 u1，u(x) |xx2 u2 ，代入上式插值模式公式得：
a1 a2 x1 u1
a1 a2 x2 u2
5.1.1 一维杆单元
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐标
系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出
相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图5-1）。在局部
坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图5-2为任取的一
个杆单元。
P1, u1 Ee , Ae , le
1 2
e
d
1 2
P1
P2
uu12
1 2
le 0
Sδe
(Bδe )Aedx 1 2
P1
P2
uu12
1 δeT le BT E e BAedxδe 1 P eT δe
2
0
2
上式记作如下矩阵形式：
e 1 δeT K eδe 1 PeT δe
2
2
根据最小势能原理， e 0
统方程：
E (1) A(1)
可以得到，
keδe Pe
(5.9) (5.10)
5.1.1 一维杆单元
其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单元特 性矩阵(element characteristic matrix)
K e
le 0
BT
E e BAedx
Ee Ae le
1 1
1
1
(5.11)
x]
aa12
1
x
1 1
x1 x2
1
uu12
=
N
(
x)
uu12
得到形函数矩阵（shape function matrix）
N (x) 1
x
1 1
x1 x2
1
(1
x2
x
x1
)
x
x2
x1
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是
δe
uu12
1 1
1
1
P (2)
FR32
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
(1)
(2)
1 2
uu12
T
E (1) A(1) 1 l(1) 1
1
1
uu12
1 2
R1
R2
uu12
1 2
uu23
T
E (2) A(2) 1 l(2) 1
1
1
uu23
1 2
R2
F3
uu23
0
E (2) A(2) l(2)
E (2) A(2)
uu12
u3
1 2
R1 0
T
F3
uu12
u3
l(2)
可记作
1 δT Kδ 1 PT δ
(5小势能原理，由各单元
刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
求解得到
a1 u1 x1(u1 u2 ) /(x1 x2 ) a2 (u1 u2 ) /(x1 x2 )
5.1.1 一维杆单元
这样， u(x) a可1 以a写2x 成如下矩阵形式
u(x) [1
x]
aa12
uu12
1 1
x1 x2
aa12
aa12
1 1
导出
u(x) [1
如图5-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E(1) , A(1) , l (1)
u1
单元1
E(2) , A(2) , l (2)
u2
单元2
1
2
3
x
图 5-1 杆件结构 –待求解的问题
F3 10N
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
在这里，把表达成整体位移矢量 uu12的函数，如下： u3
5.1 杆件系统的有限元分析方法
E (1) A(1)
1 2
uu12
T
u3
l (1) E (1) A(1)
l (1)
0
E (1) A(1) l (1)
E (1) A(1) E (2) A(2)
l (1)
l(2)
E (2) A(2) l (2)
(5.7)
B为应变矩阵（常应变）。
（5）应力
由弹性力学的物理方程知：
(x) DB(x)δe EeB(x)δe S为应力矩阵（常应力）。
S(x)δe
Ee le
Ee le
uu12
(5.8)
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵
单元的势能表达式：
5.1.1 一维杆单元
e U e W e
P2 , u2
1
2
图 5-2 杆单元
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系
式
P1 P2
k
e
u1 u2
(5.1)
其中， k称e 为单元刚度矩阵
5.1.1 一维杆单元
（2）确定位移模式
假设单元位移场： u(x) a1 a2 x a3x2
取其线性部分，系数 a1、a2可由节点位移 u1、u2确定，称为位
杆单元-桁架结构 梁单元-轴系，转子动力学
5.1 杆件系统的有限元分析方法
5.1.1. 一维杆单元 ——材料力学可轻易求解 一般情况下，认为杆件只承受轴向力，只有一个方向的受力
和相应的变形。本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出 规范的有限元法中关于杆单元的推导过程，以及整个杆系的求解 过程。