2 x0 T 2 an g ( x) cos n x dx x 0 T T 2 x0 T 2 bn g ( x) sin n x dx x 0 T T
CH2 数学预备知识
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例
《计算机数字图像处理》 张卫平
《计算机数字图像处理》 张卫平
2 x bn sin n d 1 n 0 2 d 2 an g ( x) cos n x dx d 0 d 0 n 0
x
2 d 2 d 2 2 2 bn g ( x) sin n x dx sin n x dx 0 d 0 d d d
程严格来说都是非周期的。有些物理过程可以用周期函数
来近似描述，象前面介绍的矩形光栅的例子，只有当光栅
常数ｄ比光栅总宽度小得多的时，也就是总缝数很大时才 可以用周期函数来描写这种光栅，当然这种描写仍是近似
C0
jn x 1 x0 T Cn g ( x)e T dx T x0
a jbn 1 x0 t 2 2 g ( x) cos(n x) j sin(n x) dx n T x0 T T 2 Cn
jn x 1 x0 T g ( x)e T dx T x0 2
a0 2 a n cos n 2 n1 T
2 x bn sin n T
x
得证。
CH2 数学预备知识
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式 二、傅立叶变换 1、导出
《计算机数字图像处理》 张卫平
事实上周期函数只是数学上的描述，对于一切物理过
周期为 T 的函数将它展开成傅立叶三角级数时展开式，
只是要根据对应关系将θ换算成 x ，它们之间的换算关系 是 2 x ，所以有
T
a0 2 g ( x) a n cos n 2 n1 T
2 x bn sin n T
x
其中：
a0 g ( ) a n cos(n ) bn sin(n ) 2 n1
其中：
an bn 1

1
g ( ) cos( n )d


g ( ) sin( n )d


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一、傅立叶级数 1、定义 周期为T
《计算机数字图像处理》 张卫平
a jbn 1 x0 t 2 2 g ( x) cos(n x) j sin(n x) dx n T x0 T T 2
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一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式 即：
g ( x)
n
《计算机数字图像处理》 张卫平
C e
1 2 2 2 2 、 sin 2 πx 、 sin 6 πx 、 sin 10 πx 、 sin 14 πx 2 π 3π 5π 7π
绘图如下：
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一、傅立叶级数 1、定义 2、举例
《计算机数字图像处理》 张卫平
CH2 数学预备知识
一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式 指数形式
第三讲 傅立叶变换
一、傅立叶级数 二、傅立叶变换
《计算机数字图像处理》
伪装工程教研室
张卫平
二ＯＯ六年三月
CH2 数学预备知识
一、傅立叶级数 1、定义 周期为2π
《计算机数字图像处理》 张卫平
周期为2π的函数g(θ)，若在一个周期内只有有限个
极值点和不连续点，并且在一个周期内绝对可积，则它可
以展成傅里叶三角级数：
2 1 [1 cos(n )] n n 0 n 1,3,5,...(2k 1) n 2,4,6,...2k
其中k=0,1,2,…。于是：
1 2 2 g ( x) sin (2k 1) x 2 k 0 (2k 1) d 取前五项：
《计算机数字图像处理》 张卫平
通过欧拉公式，把正弦函数、余弦函数和指数函数联
系起来，不难证明傅里叶三角级数可以写成指数级数的形
式。 若 g(x) 的周期为 T ，在一个周期内只有有限个极值点
和不连续点，并且在一个周期内绝对可积。则g(x)可以展
开成傅立叶指数级数：
g ( x)
n
C e
n

jn
2 x t
其中：
jn x 1 x0 T Cn g ( x)e T dx T x0 2
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一、傅立叶级数 1、定义 2、举例 3、指数形式
a0 1 x0 T g ( x ) dx T x0 2
2
《计算机数字图像处理》 张卫平
证明如下：取n为任一正整数
n

jn
2 x T
2 2 jn x jn x C 0 C n e T C n e T n 1
a n jbn 2 2 cos n x j sin x n 2 T T C0 a jb 2 2 n 1 n n cos n x j sin n x 2 T T
有一缝宽和缝距相等的矩形光栅，振幅透过率为：
d 1 m d x m d g 成傅立叶三角级数。函数图形
如下所示：
g ( x)
d
0
d
2d
x
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一、傅立叶级数 1、定义 2、举例
a 2 0 解： g ( x) a n cos n 2 n1 d