2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合第一讲：二次函数与一元二次方程的综合内容要求中考分值 考察类型 二次函数与一元二次方程综合题会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7二次函数与一元二次方程1. 熟练掌握二次函数的有关知识点2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。

【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =（a －1）x 2+2x +1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值.（2）将二次函数y =（a －1）x 2+2x +1的图象向右平移m 个单位，例题精讲方法策略考试要求yx11Oa ≠ ……………………1分即()()22314210a k --⨯-=，且2-10k≠=3k……………………3分 （2）∵二次函数与x 轴有两个交点，∴2-40b ac ＞，且a ≠． ……………………４分即2-30k （）＞，且±k ≠1．当3k ≠且1k ≠±时，即可行．∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数∴1222-1+-3-1+-3-42====-1-1-1+1k k k k k x k k k k （3）（）342（）2（）2（）2222-1--3-1-+3+21====-1-1-1-1k k k k k x k k k k （3）（）322（）2（）2（） (5)分当=0k 时，可使1x ，2x 均为整数，∴当=0k 时，A、B两点坐标为(-10)，和(20)，……………………6分【例3】 已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），O yx 求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线 y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．（1）证明：∵ △= (m +1)2－4×(－1)×(m +2)=(m +3)2. ……………………………………………………………1分∵ m ＞0，∴ (m +3)2＞0， 即 △＞0，∴ 原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2分 （2）解：∵ 抛物线抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），∴ －32+3(m +1)+(m +2)=0，………………………………………………3分∴ m =1. ∴ y =－x 2+2x +3. ………………………………………………………4分 （3）解：∵ y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.∴ 当直线y =k (x +1)+4经过顶点（1，4）时， ∴ 4=k (1+1)+4，∴ k =0， ∴ y =4.∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为4. ………………………5分∵ y =－x 2+2x +3， ∴ 当x =0时，y =3，∴ 该抛物线与y 轴的交点为（0，3）.∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为3. ………………………6分∴ 3＜t ≤4. …………………………………………………………………7分【例4】 已知关于x 的一元二次方程4)15(22=+++-m m x m x .（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m 的取值范围； （3）抛物线mm x m x y --++-=224)15(与x 轴交于点A 、B （点A在点B 的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE ，如图11，点C （0，－5)，D （6，－5) ，E （6，0),当m 取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移h 个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE 有两个交点，请结合图形写出h 的取值或取值范围（直接写出答案即可）．.解：(1)证明： Δ=)4(14)]15([22m m m +⨯⨯-+-………………1分=1692++m m=2)13(+m∵2)13(+m ≥0， ………………2分∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根.（2） 解关于x 的一元二次方程04)15(22=+++-m m x m x，得14,21+==m x m x . ………………3分由题意得⎩⎨⎧>+<⎩⎨⎧<+>31488143m m m m 或………………4分解得821<<m . ………………5分 （3）5=h 或94-<<-h . ……………7分逆袭训练1. 已知关于x 的方程mx 2－(3m －1)x +2m －2=0 （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x 的二次函数y = mx 2－(3m －1)x +2m －2的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．.解：(1)△=9m 2－6m +1－8m 2+8m =m 2+2m +1，=（m +1）2；∴△=（m +1）2≥0，………………………………………….(1分) ∴无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；(2)设x 1，x 2为抛物线y =mx 2－（3m －1）x +2m －2与x 轴交点的横坐标． 令y =0，则mx 2－（3m －1）x +2m －2=0由求根公式得，x 1=2，， …………………………….(2分)∴抛物线y =mx 2－（3m －1）x +2m －2不论m 为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∴x 2=0或x 2=4，∴m =1或 )当m =1时，y =x 2－2x ，，∴抛物线解析式为y =x 2－2x当 时,382312-+-=x x y答：抛物线解析式为y =x 2－2x ；或 382312-+-=x x y ……….(3分)2. 已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)axa x a a --+-=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y是关于a 的函数，且21y axx =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为 ．（1）证明：22(1)20(0)axa x a a --+-=>是关于x 的一元二次方程，2[2(1)]4(2)a a a ∴∆=---- ····················· 1分=4． 即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． 2分（2） 解：由求根公式，得2(1)22a x a-±=． ∴1x =或21x a =-． ······················ 3分a >，1x ＞2x ，11x ∴=，221x a=-． ······················· 4分 211y ax x a ∴=+=-．即1(0)y a a =->为所求．………………………………………………………5分（3）0＜a ≤23．…………………………………………………………………………7分3. 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线2C 的解析式；（3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值． 解：（1）当0m =时，2x = 当0m ≠时，()()231422m m m ∆=--- 2296188m m m m =-+-+ ()22211m m m =++=+∵()210m +≥，∴0∆≥综上所述：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分（2）∵二次函数2(31)22y mx m x m =---的图象经过坐标原点 ∴220m -=∴1m =………………………4分 抛物线1C 的解析式为：22y x x =- 抛物线2C 的解析式为：222y x x =-- 设直线l 所在函数解析式为：y kx b =+将A 和点()2,0B 代入y kx b =+∴直线l 所在函数解析式为：2y x =-………5分（3）据题意：过点C 作CE x ⊥轴交AB 于E ，可证45DEC OAB ∠=∠=︒ ,则22EC CD =设()2,22C t tt --，(),2E t t -，()03t <<∴ECEC y y =-23t t =-+23924t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭………………………6分 ∵3032⎛⎫<< ⎪⎝⎭∴当32t =时，max94EC=∵CD 随EC 增大而增大， ∴max928CD =.………………………7分B y xE D C B AO4. 已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=．（1）求证：方程()2230xm x m +-+-=总有两个实数根； （2）求证：抛物线()223y xm x m =+-+-总过x 轴上的一个定点； （3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A ，抛物线()223y xm x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的取值范围． 解：（1）24b ac -=()()2243m m ---........................................................1分 =244412mm m -+-+=2816m m -+=()24m -∵()240m -≥，∴方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根．..............................................2分（2）()21,224m m x -±-=()242m m -±-． (3)分 ∴11x=-，23xm =-+，∴抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点（－1,0）．................4分（3） ∵抛物线()223y xm x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ，与yxyO轴交于点C，∴B（3－m,0），C（0, m－3），...................................................................................5分∴△OBC为等腰直角三角形，∵△OBC的面积小于或等于8，∴OB，OC小于或等于4，∴3－m≤4或m－3≤4，.......................................................................................6分∴m≥－1或m≤7．∴－1≤m≤7且m≠．................................................................................3............7分5. 已知关于x的一元二次方程23(1)230-+++=.mx m x m（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线23(1)23=-+++y mx m x m与x轴交点的横坐标都是整数，且4x<时，求m的整数值．解：（1）由题意m≠ 0，………………………………………………………… 1分∵方程有两个不相等的实数根，∴△>0． ……………………………………………………………… 2分即 22[3(1)]4(23)(3)m m m m -+-+=+>．得m ≠﹣3． ………………………………………………………………… 3分∴ m 的取值范围为m ≠0和m ≠﹣3；（2）设y =0，则23(1)230mxm x m -+++=．∵ 2(3)m ∆=+， ∴ 33(3)2m m x m +±+=．∴123m x m+=，21x =．……………………………………………… 5分 当 123m x m+=是整数时， 可得m =1或m =－1或m =3．………………………………………………………… 6分 ∵4x <， ∴m的值为﹣1或3 ． …………………………………………………………… 7分6. 已知：关于x 的一元二次方程2(3)-30mxm x +-=．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个实数根；（2）设抛物线2(3)-3y mxm x =+-，证明：此函数图像一定过x 轴，y轴上的两个定点（设x 轴上的定点为点A ，y 轴上的定点为点C ）；（3）设此函数的图像与x 轴的另一交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求m 的取值范围． 解：（1）22(3)12(3)m m m ∆=-+=+∵2(3)m +≥∴无论m 取何值，此方程总有两个实数根.…………2分（2）由公式法：21,23(3)123(3)2m m m m m x m-±-+-±+==∴x 1=－1,x 2=m 3.…………4分∴此函数图像一定过x 轴，y 轴上的两个定点，分别为A （－1，0）,C （0，－3）……4分（3）由（2）可知抛物线开口向上，且过点A （－1，0）,C （0，－3）和B （m 3，0）.观察图象，当m ＜0时，△ABC 为钝角三角形，不符合题意.当m ＞0时，可知若∠ACB =90°时， 可证△AOC ∽△COB .-3CB A 3xy63-10∴BOCO CO AO =. ∴OBOA OC•=2.∴32=1×OB . ∴OB =9.即B (9,0) .∴当930<<m 时，△ABC 为锐角三角形.即当m >31时，△ABC 为锐角三角形.…………7分7. 已知关于x 的一元二次方程22(41)30xm x m m -+++=.（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围； （3）抛物线22(41)3y xm x m m=-+++与x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，当m 取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+=2441mm ++=2(21)m +∵2(21)m +≥0，∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根. ………………2分（2） 解关于x 的一元二次方程22(41)30xm x m m -+++=，得1231,= x m x m=+. ………………3分由题意得312,317,7. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 ………………4分解得 173m <<. ………………5分（3）符合题意的n 的取值范围是91544n <<. ……………7分8. 已知关于x 的方程：2(1)0x m x m ---=①和2(9)2(1)3x m x m --++=②，其中0m >.（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数21(1)y x m x m =---的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），将A 、B 两点按照相同的方式平移后，点A 落在点'(1,3)A 处，点B 落在点'B 处，若点'B 的横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值；（3）设二次函数22(9)2(1)y x m x m =--++，在（2）的条件下，函数1y ，2y 的图象位于直线3x =左侧的部分与直线y kx =（0k >）交于两点，当向上平移直线y kx =时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则k 的值是________________.解：（1）222(1)421(1)m m m m m ∆=-+=++=+，……………………………1分 由0m >知必有10m +>，故0∆>. ∴方程①总有两个不相等的实数根. ……………………………………………2分 （2）令10y =，依题意可解得(1,0)A -，(,0)B m .∵平移后，点A 落在点'(1,3)A 处，∴平移方式是将点A 向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.∴点(,0)B m 按相同的方式平移后，点'B 为(2,3)m +. ……………………3分则依题意有2(2)(9)(2)2(1)3m m m m +--+++=. …………………………4分解得13m =，252m=-（舍负）.∴m的值为3. ………………………………………………………………………5分（3）32k =. ………………………………………………………………………7分1. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．解：(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（ =26944m m m ++--=225mm ++=2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0， ∴2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分（2） 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得23(1)4m m x --±++=………………3分要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数.设22(1)4m a ++=，则(1)(1)4a m a m ++--=.∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同，课后练习可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩. ………………5分将m =－1代入23(1)4m m x --±++=，得 122,0x x =-=符合题意. ………………6分∴ 当m =－1 时 ，原方程的根是整数. ……………7分2． 已知关于x 的方程2(32)220mxm x m -+++=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根. （2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.（1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分 ②当0m ≠时,[]2(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =22912488m m m m++--=244m m ++=2(2)m +≥ ………………………………2分所以,方程有实数根综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分 （2）令0y =，则2(32)220mx m x m -+++=解关于x的一元二次方程，得11x = ，222x m=+……………………5分二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数， 所以m 只能取1，2所以抛物线的解析式为254y x x =-+或2286y x x =-+………………7分3. 已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0 （m ＞1）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．解：（1）证明：所以方程有两个不等实根. (2)分()21,=210.m m >∴∆->()()()22=41433=21,m m m m ∆+-+-18()()()21212412141212.213,1+.111,01,1 2.1,3,1.13331.m m m m x m m m m mx x x x my m m +±-+±-==∴>∴<<∴+<>∴==+⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭两根分别为………………5分（3）作出函数3(1)m m >y=-的图象，并将图象在直线2m =左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示.易知点,A B 的坐标分别为3(3,3),(2,).2A B -- 当直线 过点 A 时，可求得过点B时，可求得 因此，……………7分4. 已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m为非负整数.（1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的表达式； 2y m b =+9,b =-11,2b =-119.2b -<<-19 （3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转︒180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线121+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．解：（1）∵方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，∴0≠m 且0≥∆， ……………………1分则有0)1(4-)1(42≥--m m m 且0≠m∴1≤m 且0≠m 又∵m 为非负整数，∴1=m .………………………………2分 （2）抛物线1C ：2x y =平移后，得到抛物线2C ：b a x y +-=2)(，……3分∵抛物线2C 过),2(b A 点，b a b +-=2)2(，可得2=a ，同理：b a b +-=+2)4(12，可得3=b ， …………………………4分 ∴2C ：()322+-=x y ）（或742+-=x x y . …………5分 （3）将抛物线2C ：3)2(2+-=x y 绕点(n n ,1+)旋转180°后得到的抛物线3C 顶点为（322-n n ，），………………6分当n x 2=时，11221+=+⨯=n n y ， 由题意，132+>-n n ，20 即：4>n ． ……………………………7分5. 关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的 函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．解：（1）证明：()()[]0231=+--m x x ∴11=x ，231+=m x∵011>=x ∴无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）解：∵若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴点∴29(1)4(32)0m m ∆=+-+= ∴31-=m（3）解： 当31-=m 时，函数()22112-=+-=x x x y 依题意，沿直线2=x 翻折后的解析式为:()96322+-=-=x x x y ，图象G 如图所示．可得，()96322+-=-=x x x y 与x ，y 轴的 交点分别为(3 设直线PQ 的解析式为()0≠+=k b kx y ，由()0,t P ，Q (0，2t )．∴直线PQ 的解析式为t x y 22+-=………5分①当线段PQ 与函数图象G 相切时，96222+-=+-x x t x ()029416=--=∆t ∴25=t ②当线段PQ 经过点()9,0时，92=t ∴29=t 综上：当25=t 或29>t 时，线段PQ 与函数图象G。