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轻松搞定高考压轴题！第一部分 2017年高考数学理科真题压轴题精选解析几何1、（2017新课标卷1）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程. 【解析】：(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c = 又32c a =， 所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,28243k k x ±-=从而2221241431k k PQ k x x +-=+-=又点O 到直线PQ的距离d =，所以∆OPQ 的面积21214OPQS d PQ k ∆==+ ，t =，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，k =等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l的方程为：22y x =-或22y x =--. …………………………12分2、（2017新课标卷2）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .【答案】 (1) 21（2）72,7==b a【解析】 （1）.21∴.2102-32.,4321∴4322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=（2）72,7.72,7.,,1:4:)23-(,:.23-,,.4,.42222211111122====+===+=+====•=b a b a c b a ace NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F ab MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可3、（2017辽宁卷）圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1­6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.图1­6(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．【解析】解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0.又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3m m 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0， 所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0， 解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.4、（2017上海卷）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔。

若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线.【答案】 (1) 省略 (2) ∞),21[∪]21-,∞-(+(3) 0=x 只有直线【解析】 (1)平分被直线所以，点中，得分别代入直线方程左式把点平分，过程如下被直线证明点01-)0,1-(),2,1(04-)1-01-)(1-21(η,.01-)0,1-(),2,1(=+<=++==+y x B A B A y x B A (2)的分割线是曲线时，直线所以，当线上。

上下方存在点均在双曲且直线与双曲线无焦点时，直线当为是双曲线，渐近线方程曲线在曲线上，且的分割线，则是曲线若直线14y -kx y ∞),21[∪]21-,∞-(∈kx y kx y ]∞,21[∪]21-,∞-(∈∴2114y -0)-)(-(),(∃),,(∃14y -22222211221122==+==+±==<==x k k x y x kx y kx y y x P y x P x kx y (3)的分割线是所以，只有直线在直线左右两侧与图像不相交，且图像只有直线可知画出图像利用数形结合法减时，曲线的图像单调递当中心对称，且对称，也关于的图像关于曲线，变形为：即，即据题有，设动点E x x y x R y y x xy x x y x x x y x x MQ x MQ Q y x M 0.0,,,.2,0)2,0(2,01)2-(∴.0≠0)2-(1-1)2-(,1||1||),20(),,(222222222222==≥>∈===+=+=+=•=•5、（2017四川卷）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 与点P ，Q 。

（ⅰ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ⅱ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标。

【答案】 （Ⅰ）12622=+y x （Ⅱ） )1-,3-(),1,3-(T T 或【解析】（Ⅰ）1262,6,4∴,3,4222222222=+===+===y x b a c c b a b a c 所以，椭圆方程为解得（Ⅱ-1）.,236-x ⇒)2(30⇒)2(13-)2(13-312-∴0.6-1212)3(1244637378059220140614126),(),,(),2(1∴-.0≠.0).0,2-(),,3-(2122221222222222211PQ OT PQ xx m x x m x mx m x m y PQ x m y OT m x x m x x m m x x x qq y x y x Q y x P x my FT F m k m PQ OT m F m T TF 平分线段所以线段中点横坐标即交点横坐标，解得方程与直线方程联立，即联立得完成时间与椭圆方程的直线方程为且垂直设过时下面证明平分线段时，当设=+=+=++=+=+==+=+=+++=+++=++===（Ⅱ-2）)1-,3-(),1,3-(,12.32262262262,11316213162∴13162)32-1(62)312-(3662)(6262)()(2222222222222121T T PQTFm PQ TFTF PQ t tt t t TF PQ m t m m m m m TF PQ m TF m m m m x x x a c a x a c a QF PF PQ 或取最小值时，点当所以为最小值，这时取最大值，即时，当则，令由上得，±==∴=≤+=+=>+=++•=+++•=+=++•=++=++=++=+++=+=6、（2017湖北卷）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．【答案】（Ⅰ）24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ② 设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x-=+，令0y=，得021 kxk+=-. ③（ⅰ）若0,0,x∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k<-，或12k>.即当1(,1)(,)2k∈-∞-+∞时，直线l与1C没有公共点，与2C有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.7、（2017天津卷）设椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点为12,F F，右顶点为A，上顶点为B.已知1232AB F F.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点的直线l与该圆相切. 求直线的斜率.【答案】 （1） 22（2）154±【解析】 （1）22.22.,443|F F |23|AB |22222221所以，离心率为解得且==+=•=+∴=a c ebc a c b a（2）()154.154018-1)1(45.45)2()-()2(,1)1()2(,1)22(,),2-,2()2,2(,.043,2)(21200)(F F ),,(F ),,(F .12),0,-(F ,,0,)1(),,(2222121212121222221222112111112212122122111111111112222111±±==+++=∴=++=+==++=++=+==+=++∴=+=++=++=•+===+所以，所求直线斜率为，解得，即又即则半径即圆心设所求直线为即，，且，即则椭圆方程为知由设k k k k k x b x x b y x BP r k k x r k x k x r r x x b y x kx y b x b b x x by b x y b x y b x b P B y b x b b by b x b b B y x P8、（2017安徽卷）如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.（1）证明：1122//A B A B ；（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点.记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ,求21S S 的值.9、（2017湖南卷）如图1­7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．图1­7【解析】解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1，0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m22－m 2＝22·－1＋32－m2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.10、（2017湖南卷）如图7，O 为坐标原点，椭圆1C :22221x y a b+=（a >b >0）的左.右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ：双曲线2C ：2222-1x y a b=的左.右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e 。