N
h
解：以重锤为研究对象，分析受力， 作受力图：
Mg
动量定理
解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用 平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0 初状态动量为 M 2 gh 末状态动量为0
得到 ( N 解得
2 1
动量定理
得到积分形式
I p2 p1
这就是动量定理：物体在运动过程中所受到 的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。 几点说明： (1)冲量的方向：
冲量I 的方向一般不是某一瞬时力 F i
而是所有元冲量
的方向，
的合矢量 F dt
dt t1 F的方向。
t2
动量定理
Mg ) M 2 gh
N Mg M 2gh /
3
代入M、h、的值，求得： (1)
N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.1) 5 1.92 10 牛顿
动量定理
(2)
N 3 10 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.01) 6 1.9 10 牛顿
打击或碰撞，力 F 的方向保 F
t1
t2 t
动量定理
(4)动量定理在处理变质量问题时很方便。 (5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其 适用范围是惯性系。 (6)对于多个质点组成的质点系，不考虑内力。
例 题 2-6 质 量 M=3t 的 重 锤 ， 从 高 度 h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工 件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。
P mi vi 常矢量
i
注意： 1.定律成立的条件：不受外力（或合外力为零）。 2.系统内部作用对系统总动量无影响 3.有相应的分量式
4.动量守恒定律的适用范围要大于牛顿运动定律
动量守恒定律的应用
用火箭发射卫星
变质量问题
变质量问题的处理方法 (1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式 (3)求出系统动量变化率 (4)分析系统受力
§2-5 冲量 动量 动量定理
1. 动量定理
重写牛顿第二定律的微分形式
F dt d p
2
考虑一过程，时间从t1-t2，两端积分
p t F d t p d p p2 p1 t2
1 1
左侧积分表示力对时间的累积量，叫做冲量。
t I t F d t
a
x
O
xg
N
dP F xg 3ax dt F xg 3xa
(l x) g
变质量问题
例2：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为m0,煤炭 以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨 道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度v2保持不 变,求机车的牵引力。
(5)应用动量定理求解
例1：匀加速提柔软链条 例2：装煤车的牵引力
变质量问题
例1：一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量 为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住 链条的一端，以加速度a从静止匀加速上提。当链条端点 离地面的高度为x时，求手提力的大小。
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立 坐标系。 t时刻，系统总动量 P xv X v
dx dv dP d (xv) v x dt dt dt dt
a
x
O
v ax
2
变质量问题
系统动量对时间的变化率为：
dP 2ax ax 3ax dt
t时刻，系统受合外力
F xg N (l x) g
X
F
F xg
根据动量定理，得到
(2)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程
I x t1 Fx d t mv2 x mv1x
t2
I y t1 Fy d t mv2 y mv1 y
t2
I z t1 Fz d t mv2 z mv1z
t2
(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。
持不变，曲线与t轴所包围的面积 就是t1到t2这段时间内力 F 的冲量 F 的大小，根据改变动量的等效性， 得到平均力。
解： 车和煤为系统,向下为Y正向， 向左为X正向，建立坐标系。 v2 tt+dt时刻，dm = dt
X
v1
Y
P (t ) (m0 t )v2 dt v1 P (t dt ) (m0 t dt )v2 dP P (t dt ) P (t )N (m0 t ) g dt 1 v 2 v1
竖直
变质量问题
(m0 t ) g N v1 N v1 (m0 t ) g
X
水平
F f v2
F v2 f
v2
N v1
3
解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过 程，动量变化为零。 重力作用时间为
2h / g
支持力的作用时间为 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即
N Mg ( 2h / g ) 0
得到相同的结果
N Mg M 2gh /
动量守恒定律
2. 动量守恒定律
若质点系所受的合外力（或合外力的冲量）为 零，质点组的总动量将保持不变，即当 Fi 0 时， 质点组总动量：
F f
Y
v2 N
(m0 t ) g (v2 v1 )
(m0 t ) g